extensión de la línea paquetes

Question

Que $X/k$ ser una variedad normal y $U \subseteq X$ abierta con cerrada complemento de codimensión $\geq 2$. Que $\mathscr{L}/U$ ser un haz de línea. ¿Existe una única extensión de $\mathscr{L}$ a un haz de línea en $X$, es decir, es $\mathrm{Pic}(X) \to \mathrm{Pic}(U)$ un isomorfismo? Si $X$ es localmente factorial, esto es cierto por el isomorfismo $\mathrm{Pic}(X) = \mathrm{Cl}(X)$ y la instrucción correspondiente para el grupo de clase de divisor de Weil.

Secciones global, esto es [EGA IV ${}_2$], p. 115, Théorème 5.10.5 una variedad normal es (S2).

Answer 1

Una manera de pensar acerca de esta pregunta es: desde $X$ es normal, es $S_2$, por lo que cualquier línea bundle $\mathcal M$ $X$ $S_2$ (ya que es localmente isomorfo a $\mathcal O_X$). Por otro lado, cualquier línea bundle $\mathcal L$ $U$ tiene una extensión única para un $S_2$ torsión libre coherente gavilla $\mathcal M$$X$, es decir,$\mathcal M := j_* \mathcal L$. (Aquí se $j: U \to X$ es la inclusión.)

Así que la pregunta es: es $j_*\mathcal L$ necesariamente invertible gavilla, a la cual la respuesta (como Mohan notas en los comentarios) es no.

---

Una más geométrica manera de pensar acerca de la pregunta es: si $D$ es un eficaz divisor de Cartier en $U$, entonces es su Zariski de cierre en la $X$ (que es un divisor de Weil) de nuevo, necesariamente, un divisor de Cartier? Mohan contraejemplo es el famoso "primer ejemplo" de un no-Cartier divisor de Weil, que sin embargo se convierte en Cartier después de eliminar el cono punto.