Estoy tratando de comprender derivados de mapas entre los colectores, y específicamente algo que he leído en Dodson y Poston del Tensor de la Geometría. Voy a tratar de dar fondo tanto como puedo para aquellos sin el libro (para cualquier persona que tiene la segunda edición de la sección pertinente VII.2... páginas 166-168 en mi copia).
Para empezar, si $(U, \phi)$ $(U', \phi')$ son gráficos en una variedad M (por ejemplo,, $\phi: U \subset M \to \mathbb{R}^m$), $u \in U \cap U'$, y $\vec{t}, \vec{t}'$ vectores tangente a $\mathbb{R}^m$, entonces los vectores de tangentes a $M$ (elementos de $T_uM$) son una clase de equivalencia de triples definido por una relación de $\sim$ dada por
$$ (U,\phi\vec{t}) \sim (U', \phi', \vec{t}') \iff D_{\phi(u)}(\phi' \circ \phi^{-1})\vec{t} = \vec{t}'. $$
Si $f : M \to N$ es diferenciable en a $u$, e $(V, \psi)$ es un gráfico en $N$ (es decir $\psi : V \to \mathbb{R}^n$)$f(u) \in V$, luego
$$ \begin{align*} (U,\phi,\vec{t}) &\sim (U', \phi', \vec{t}') \\ &\Rightarrow D_{\phi(u)}(\psi \circ f \circ \phi^{-1})\vec{t} = D_{\phi(u)}(\psi \circ f \circ \phi'^{-1})\vec{t}' \\ &\Rightarrow (V,\psi,D_{\phi(u)}(\psi \circ f \circ \phi^{-1})\vec{t}) \sim (V,\psi,D_{\phi(u)}(\psi \circ f \circ \phi'^{-1})\vec{t}') \end{align*} $$
de modo que $f$ induce una bien definida mapa
$$ D_uf : T_uM \a T_{f(u)}N $$
tomando el $\sim$ clase de equivalencia de a $(U,\phi,\vec{t})$ a de $(V,\psi,D_{\phi(u)}(\psi \circ f \circ \phi^{-1})\vec{t})$.
Tenga en cuenta que aquí $D_{\phi(u)}$ es solo el regular derivados... como entiendo lo que está pasando, básicamente, crear un mapa de $\psi \circ f \circ \phi^{-1} : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$ y tomar sus derivados. El resultado (en combinación con el arbitrario gráfico de $\psi$) únicamente especifica el vector tangente a $N$ para un determinado vector tangente a $M$ (respondiendo a la pregunta: a medida que nos movemos en una dirección en $M$, ¿qué dirección nos movemos en $N$?).
El por encima de la construcción puede ser fácilmente extendido a más de derivados, simplemente tomando más los derivados de la $\psi \circ f \circ \phi^{-1}$. Dodson y Poston decir "De una manera similar podemos definir más de derivados, con $D^k_uf \in L^k(T_uM;T_{f(u)}N)$". $L^k(T_uM;T_{f(u)}N)$ es el espacio de multilineal asignaciones de tomar en $k$ vectores en $T_uM$ y devolver un vector en $T_{f(u)}N$.
Moviendo hacia mi pregunta. Considere la posibilidad de un mapa de $g : U \subset \mathbb{R}^2 \to V \subset S^2$. Después de la anterior, $D^2_u(g)(\vec{t},\vec{t}') : T_u \mathbb{R}^2 \times T_u \mathbb{R}^2 \to T_{g(u)}S^2$, es decir, después de la alimentación de dos vectores obtenemos un vector tangente a la esfera. Esto no parece ser lo que se obtiene si se toma derivados de $\iota \circ g : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$, es decir, considerando la esfera como incrustado en $\mathbb{R}^3$ ($\iota$ es la inclusión de un mapa). La fijación de $\vec{t}$, después de la primera derivada, tenemos un campo de vectores tangente a la esfera en cada punto de $g(x)$$x \in U$, y la segunda derivada supongo mira cómo este campo cambia con la posición (dando vectores no necesariamente tangente a la esfera, ya que estamos usando sólo una normal y no derivada covariante).
Mis preguntas: creo que mi confusión se acumula en algún lugar en ese último párrafo. Son las segundas derivadas de $g$ $\iota \circ g$ no es el mismo porque la segunda derivada de la inclusión mapa no es el de la inclusión de mapas, entre los tangente espacios (es decir, la regla de la cadena)? Es mi imagen de la segunda derivada de $\iota \circ g$ incorrecta o engañosa? ¿Qué $D^2_u(f)$ realmente nos acerca a $f$? Hay algunos intuitiva pregunta que puede ser formulada como en la primera derivada caso que nos dice cómo nos movemos en N en$f$, mientras nos movemos en M?
Cualquier ayuda en la desvinculación de mi nudosa cerebro sería muy apreciada.
