Solucionar $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}+\frac{1}{z}$

Question

Resolver $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}+\frac{1}{z},$$ where $x, y, z$ son números enteros positivos.

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Hasta ahora tengo:

Si $x=y=z \Rightarrow(x, y, z) = (2, 2, 2)$.

Si $x=z \Rightarrow (x, y, z) = (k, 2, k)$ donde $k$ es natural.

Si $y=z \Rightarrow (x, y, z) = (2, k, k)$ donde $k$ es natural.

Si $x=y \Rightarrow (x-4)(z+2) = -8 \Rightarrow x = 1, 2,3$. El primero de los dos casos el rendimiento de los ya conocidos soluciones. El tercer rendimientos $(x, y, z) = (3, 3, 6)$.

Ahora traté de mirar en el caso de que $a \ne b \ne c$ y tratar de establecer algunos límites (por ejemplo,$z > x, y$) pero esto no ha dado nada útil.

Answer 1

Por simetría, asumimos $x\leq y$ a lo largo de este debate.

Casos:

Si $x=1$, entonces la ecuación se simplifica a $\frac{1}{2}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$. A continuación, $z=1$ ya que de lo contrario el lado izquierdo es mayor que el de la RHS. Al$z=1$,$y=2$.

Si $x=2$, entonces la ecuación se simplifica a $\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$, que puede ser resuelto por cualquier $y$$z$.

Si $x=3$, luego tenemos a $3\leq y<5$ como sea posible en el lado izquierdo lados (cada uno de los cuales se puede comprobar).

Si $x=4$, $y\geq 4$ y el lado izquierdo es menor que el lado derecho y que no hay soluciones.