Mostrar que $p!$ $(p - 1)! - 1$ son relativamente primos

Question

Si $p$ es el primer número, con $p>3$

Mostrar que $p!$ $(p - 1)! - 1$ son relativamente primos.

He intentado

$\text{gcd}\;(p!,(p-1)!-1)=d\Longrightarrow d\mid p!$ e $d\mid(p-1)!-1$ tener a$p!=p\cdot(p-1)!$$d\mid p!$, $$d\mid p\cdot(p-1)!$$

Pronto $d\mid p$ o $d\nmid p$.

(I)

Si $d\mid p\Longrightarrow d=1$ o $d=p$

Tenemos $d\mid (p-1)!-1$ y Wilson del Teorema tenemos $$p\mid (p-1)!+1$$and $(p-1)!-1=(p-1)!+1-2$ We know by Theorem Wilson $p\mid (p-1)!+1$, then $$p\nmid (p-1)!+1-2$$ because $p>3$, then $p\neq d$, soon $d=1$.

(II)

Si $d\nmid p\Longrightarrow d\mid (p-1)!$

Como $d\mid (p-1)!$$d\mid (p-1)!-1$,$d\mid 1\Longrightarrow d=1$.

$\Box$

Que la demostración es completa, o es algo que falta? Algo mal? De otra manera?

Answer 1

Desde $(p-1)!-1$ es relativamente primos a cada número entero menor que $p,$ la única manera de que las dos cantidades podría dejar de ser relativamente primos es si $p|(p-1)!-1.$ Pero $p|(p-1)!+1,$$p>2,$, de modo que es imposible.

Answer 2

Su prueba es casi completa. Para la parte (II), yo sugeriría que en lugar de concluir que $d=1$, a la conclusión de que la asunción de esta parte ( $d\nmid p$ ) está en contradicción con el resultado de que $d\mid 1$, por lo que en este caso conduce a una contradicción y no puede ocurrir.

Entonces a la conclusión de que el resultado de la parte (I) es el único resultado lógico, que es que

$$\text{gcd}(p!,(p-1)!-1)=1$$