Demostrando una fórmula con otra fórmula

Question

Estas preguntas son del libro "¿Qué es la Matemática":

Probar fórmula 1: $$1 + 3^2 + \cdots + (2n+1)^2 = \frac{(n+1)(2n+1)(2n+3)}{3}$$ fórmula 2: $$1^3 + 3^3 + \cdots + (2n+1)^3 = (n+1)^2(2n^2+4n+1)$$

Uso de fórmulas 4 y 5; fórmula 4: $$1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ fórmula 5: $$1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$$

Mi enfoque para demostrar la primera de ellas fue a hacer algo como una resta entre la fórmula 4 y 1, sustituyendo el valor de $n $ en la fórmula 4 $2n + 1$. Me quedé con una fórmula que he demostrado por inducción matemática me da $2^2 + 4^2 + \cdots + (2n)^2$. Me pregunto si este es el enfoque correcto antes de hacer la segunda prueba? Hay un mejor y más sencilla manera de hacerlo?

Answer 1

Yo sería así: $(2k+1)^2 = 4k^2+4k+1 \Rightarrow 1+3^2+5^2+\cdots + (2n+1)^2=\displaystyle \sum_{k=0}^n (2k+1)^2=4\displaystyle \sum_{k=0}^n k^2 + 4\displaystyle \sum_{k=0}^n k + (n+1)= 4\cdot\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+4\cdot\dfrac{n(n+1)}{2}+(n+1)=...$

Answer 2

Creo que, básicamente, en la pista de la derecha. Observe que

$$2^2 + 4^2 + 6^2 + \cdots + (2n)^2 = 4(1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2).$$

Que debe hacer las cosas relativamente fácil.