¿Por qué este enfoque producir el Valor Principal de Cauchy de mis integral?

Question

$\newcommand{\PV}{\operatorname{PV}}$He estado tratando de evaluar el Cauchy principales valores de integral \begin{equation} \tag{1} \PV\operatorname E[X^{-1}]=\PV\int_{-\infty}^\infty x^{-1}\,f_X(x) \, \mathrm{d}x = \lim_{\varepsilon\to0}\left(\int_{-\infty}^{-\varepsilon}+\int_\epsilon^\infty \right)x^{-1}\,f_X(x)\,\mathrm{d}x \end{equation} donde $f_X$ es la función de densidad de probabilidad de la diferencia de independiente gamma variables aleatorias con (potencialmente) de diferentes parámetros de forma. Aunque no creo que la respuesta a este problema tiene que ver con el particular de la función de densidad, es todavía vale la pena señalar que esta densidad es seccionalmente continua y tiene la forma \begin{equation} f_X(x)= \begin{cases} f_{X^{-}}(x), &x\leq0,\\ f_{X^{+}}(x), &x\geq0. \end{casos} \end{equation} Ambas piezas están definidos en $x=0$ y evaluar al mismo resultado. Ahora, yo no era capaz de conseguir cualquier tracción con la definición de $\PV\operatorname E[X^{-1}]$ anterior; sin embargo, fui capaz de integrar a la siguiente. \begin{equation} \begin{aligned} \lim_{\varepsilon\to0} \operatorname E[X^{\varepsilon-1}] &=\lim_{\varepsilon\to0} \left(\int_{-\infty}^0 x^{\epsilon-1}\,f_{X^{-}}(x)\,\mathrm{d}x+\int_{0}^\infty x^{\varepsilon-1}\,f_{X^{+}}(x)\,\mathrm{d}x\right),\\ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% &=\lim_{\epsilon\to0} \left(\int_0^\infty x^{\varepsilon-1}\,f_{X^{+}}(x)\,\mathrm{d}x-e^{i\pi\varepsilon} \int_0^\infty t^{\varepsilon-1}\,f_{X^{-}}(-t)\,\mathrm{d}t\right),\\ &=C\lim_{\varepsilon\to0} \left(g(\varepsilon)-e^{i\pi\varepsilon}h(\varepsilon)\right), \end{aligned} \end{equation} donde $C$ es una constante. Después de tomar el límite he comparado la expresión resultante de a $\PV\operatorname E\,[X^{-1}]$ numéricamente y se encontró que \begin{equation} \lim_{\varepsilon\to0}E\,[X^{\varepsilon-1}]=\PV\operatorname E[X^{-1}]-f_X(0) \pi i. \end{equation} La solución para $\PV\operatorname E[X^{-1}]$ posteriormente da \begin{equation} \tag{2} \PV\operatorname E[X^{-1}]=\lim_{\varepsilon\to0}\operatorname E[Y^{\varepsilon-1}] + f_{X}(0)\pi i. \end{equation} Esto no puede ser una coincidencia. Dicho esto, estoy seguro de por qué esto funciona. Sé que \begin{equation} \lim_{\varepsilon\to0}\int_{\gamma(\varepsilon)}\frac{f_{X}(z)}{z} \, \mathrm{d}z = \lim_{\varepsilon\to0} \int_\pi^0 \frac{f_{X}(\varepsilon e^{i\varphi})}{\varepsilon e^{i\varphi}}i\varepsilon e^{i\varphi}\,\mathrm{d}\varphi=-f_X(0) \pi i, \end{equation} donde $\gamma$ es un semicírculo de radio $\varepsilon$ en la mitad superior del plano. Así que mi pregunta es ¿cómo puedo demostrar que $(2)$ que es la verdad de la definición de Cauchy principales valores de integral en $(1)$?

He encontrado este documento que pueden ser útiles.

El comienzo de una respuesta?

Empezar con \begin{equation} \begin{aligned} PV\!E[X^{-1}] &=\mathrm{PV}\int_{-\infty}^{\infty}x^{-1}f_{X}(x)\,\mathrm{d}x,\\ &=\mathrm{PV}\left(\int_{-\infty}^{0}+\int_{0}^{\infty}\right)x^{-1}f_{X}(x)\,\mathrm{d}x.\\ \end{aligned} \end{equation} Sustituyendo $t=-x$ para la integral sobre $(-\infty,0]$ $t=x$ para la integral sobre $[0,\infty)$ da \begin{equation} \begin{aligned} PV\!E[X^{-1}] &=\mathrm{PV}\left(\int_{\infty}^{0}(-t)^{-1}f_{X^{-}}(-t)\,(-\mathrm{d}t)+\int_{0}^{\infty}t^{-1}f_{X^{+}}(t)\,\mathrm{d}t\right).\\ &=\mathrm{PV}\left(\int_{0}^{\infty}t^{-1}f_{X^{+}}(t)\,\mathrm{d}t-\int_{0}^{\infty}t^{-1}f_{X^{-}}(-t)\,\mathrm{d}t\right).\\ \end{aligned} \end{equation} Si ahora nos incrementar el poder de $t$ por una pequeña constante positiva $\varepsilon$ y, a continuación, calcular el límite nos encontramos \begin{equation} \begin{aligned} PV\!E[X^{-1}] &=\lim_{\varepsilon\to0}\left(\int_{0}^{\infty}t^{\varepsilon-1}f_{X^{+}}(t)\,\mathrm{d}t-\int_{0}^{\infty}t^{\varepsilon-1}f_{X^{-}}(-t)\,\mathrm{d}t\right).\\ \end{aligned} \end{equation} Ahora ya no existe la problemática $e^{\mathrm{i}\pi\varepsilon}$ plazo, y esta solución concuerda con $PV\!E[X^{-1}]$ numéricamente. ¿Qué está pasando aquí? ¿Por qué en el momento en el que me agregue a la potencia extra a $t$ importa?

Answer 1

¿Qué está pasando aquí? ¿Por qué en el momento en el que me agregue a la potencia extra a $t$ importa?

En el primer caso, para $t < 0$ de multiplicar el integrando con $e^{i\pi\varepsilon}\cdot \lvert t\rvert^{\varepsilon}$, y en el segundo caso se multiplica sólo con $\lvert t\rvert^{\varepsilon}$. Cuando estamos buscando sólo en la parte de la integral para $t < 0$, es claro que por las propiedades de las $f_X$ que

$$I(\varepsilon) := \int_{-\infty}^0 \lvert t\rvert^{\varepsilon}\cdot \frac{f_X(t)}{t}\,dt$$

tiende a $-\infty$$\varepsilon \searrow 0$. Lo que no es inmediatamente obvio es que la disminución de $I(\varepsilon)$ es esencialmente proporcional a $\varepsilon^{-1}$, y que provoca la aparición de los puramente imaginario plazo, ya que

$$e^{i\pi\varepsilon} = \cos (\pi\varepsilon) + i\sin (\pi\varepsilon) = 1 + i\pi\varepsilon + O(\varepsilon^2)\,.$$

La parte real, $\cos (\pi \varepsilon) I(\varepsilon) = I(\varepsilon) + O\bigl(\varepsilon^2 I(\varepsilon)\bigr) = I(\varepsilon) + O(\varepsilon)$, se combina con la correspondiente integral sobre la $t > 0$ a ceder el valor principal de Cauchy de la integral, y la parte imaginaria $\sin (\pi\varepsilon)I(\varepsilon)$ produce el $-f_X(0)\pi$.

Para ver esto, dividir la integral de algunos más. Desde $f_X$ es integrable tenemos

$$\lim_{\varepsilon \to 0} \int_{-\infty}^{-1} \lvert t\rvert^{\varepsilon} \frac{f_X(t)}{t}\,dt = \int_{-\infty}^{-1} \frac{f_X(t)}{t}\,dt$$

por el teorema de convergencia dominada. Podemos escribir la integral de $-1$ $0$

$$\int_{-1}^0 \lvert t\rvert^{\varepsilon} \frac{f_X(t)}{t}\,dt = \int_{-1}^0 \lvert t\rvert^{\varepsilon} \frac{f_X(t) - f_X(0)}{t}\,dt + f_X(0)\int_{-1}^0 \frac{\lvert t\rvert^{\varepsilon}}{t}\,dt\,.$$

Si $f_X$ es de buen comportamiento en $0$, la primera integral de la derecha es inofensivo. Se comporta bien significa que

$$\int_{-1}^0 \biggl\lvert \frac{f_X(t) - f_X(0)}{t}\biggr\rvert\,dt < +\infty$$

aquí. Para que es suficiente con que $f_X$ $\alpha$- Hölder continua para algunos $\alpha > 0$ (para, a continuación, el integrando es dominado por un múltiplo de $\lvert t\rvert^{\alpha - 1}$). Este es el caso de las $f_X$. Entonces, de nuevo por el teorema de convergencia dominada, tenemos

$$\lim_{\varepsilon \to 0} \int_{-1}^0 \lvert t\rvert^{\varepsilon} \frac{f_X(t) - f_X(0)}{t}\,dt = \int_{-1}^0 \frac{f_X(t) - f_X(0)}{t}\,dt\,.$$

Y, finalmente, tenemos

$$\int_{-1}^0 \frac{\lvert t\rvert^{\varepsilon}}{t}\,dt = -\int_0^1 u^{\varepsilon - 1}\,du = -\frac{1}{\varepsilon}\,.$$

El análogo de la división de la integral de positivos $t$ también produce dos partes que tienden a un límite finito como $\varepsilon \searrow 0$, además de

$$f_X(0) \int_0^1 t^{\varepsilon - 1}\,dt = \frac{f_X(0)}{\varepsilon}\,.$$

Por tanto, tenemos

$$\lim_{\varepsilon \searrow 0} \int_{-\infty}^{+\infty} t^{\varepsilon}\frac{f_X(t)}{t}\,dt = \operatorname{PV} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f_X(t)}{t}\,dt + \lim_{\varepsilon \searrow 0}\: f_X(0) \underbrace{\frac{1 - e^{i\pi\varepsilon}}{\varepsilon}}_{\to -\pi i}$$

con

$$\operatorname{PV} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f_X(t)}{t}\,dt = \int_{-1}^1 \frac{f_X(t) - f_X(0)}{t}\,dt + \int_{\lvert t\rvert > 1} \frac{f_X(t)}{t}\,dt\,.$$