Asymptotics para una serie de productos

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente problema:

Definir las siguientes funciones para $x>0$: $$f_n(x):=\prod_{k=0}^{n}\frac{1}{x+k}$$

1. Demostrar que la función $$f(x):=\sum_{n=0}^{+\infty}f_n(x)$$ está bien definido para $x>0$. Calcular su valor en $1$.

2. Estudio de la función de $f(x)$ y dar asintótica estimaciones para$x \to 0^+$$x\to +\infty$.

3. Probar que la siguiente equivalencia se tiene: $$f(x)=e \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(x+n)n!}$$

Estoy teniendo un tiempo difícil demostrar la igualdad en el tercer punto. Lo que he hecho por ahora:

$\textbf{Part 1}$

Mediante la prueba de razón, $$\lim_{n\to +\infty}\frac{\prod_{k=0}^{n+1}\frac{1}{x+k}}{\prod_{k=0}^{n}\frac{1}{x+k}}=\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{x+n+1}=0$$ la serie converge para $x>0$. El valor de la función en $1$ es

$$f(1)=\sum_{n=0}^{+\infty}\prod_{k=0}^{n}\frac{1}{k+1}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(n+1)!}=e-1$$

$\textbf{Part 2}$

Primero de todo, $f$ es positivo para todos los $x>0$. Su monotonía es inmediata: si $x_2>x_1$,

$$\begin{align} \quad \qquad \frac{1}{x_2+k}<\frac{1}{x_1+k} \end{align} \\ \implica f(x_2)=\sum_{n=0}^{+\infty}\prod_{k=0}^{n}\frac{1}{x_2+k}\leq\sum_{n=0}^{+\infty}\prod_{k=0}^{n}\frac{1}{x_1+k}=f(x_1)$$

El término general de la serie $f$ debe ser cero, ya que converge; por lo tanto, en un intervalo de $[M,+\infty)$ $M>0$

$$||f_n(x) ||_{\infty}=\prod_{k=0}^{n}\frac{1}{M+k}$$ $$\implies \sum_{n=0}^{+\infty}||f_n(x)|| \text{ is convergent}$$

por eso la serie es uniformemente convergente en cada intervalo del tipo $[M,+\infty)$.

$f$ es asintótica a$\frac 1x$$x\to +\infty$: de hecho

$$\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{\frac{1}{x}}= \lim_{x\to \infty} x\left (\frac{1}{x}+ \sum_{n=1}^{+\infty}\prod_{k=0}^{n}\frac{1}{x+k}\right )= 1$$

debido a que la serie converge en un barrio de $+\infty$.

En un barrio de $0$, la función actúa de forma similar: se puede observar que

$$\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)}{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to 0^+} x\sum_{n=0}^{+\infty}\prod_{k=0}^{n}\frac{1}{x+k}=\lim_{x \to 0^+} x\left (\frac{1}{x}+ \sum_{n=1}^{+\infty}\prod_{k=0}^{n}\frac{1}{x+k}\right )= \lim_{x\to 0^+} 1 + \sum_{n=1}^{+\infty}\prod_{k=1}^{n}\frac{1}{x+k}$$

pero $\sum_{n=1}^{+\infty}\prod_{k=1}^{n}\frac{1}{x+k}$ converge en $x=0$ y es continua, por lo que el límite es

$$\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)}{\frac{1}{x}} = 1+ \sum_{n=1}^{+\infty}\prod_{k=1}^{n}\frac{1}{k}=e$$

por lo tanto $f \sim \frac{e}{x}$

Monotonía y los límites de esta función implica que el $f$ es un bijection de $(0,+\infty)$ en sí mismo.

$\textbf{Part 3}$

He tratado de manipular las sumas: escribir una sola fracción, en lugar de que el producto no parece funcionar: lleva a la

$$\sum_{n=0}^{+\infty}\prod_{k=0}^{n}\frac{1}{x+k}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x}\frac{1}{x(x+1)}+\dots=\lim_{n\to +\infty}\frac{\sum_{h=0}^{n}\prod_{k=0}^h(x+k)}{\prod_{k=0}^{n}(x+k)}$$

No parece muy familiar, incluso dividiendo por $e=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n!}=f(1)$ Otra idea que me vino a la mente fue la de usar el producto de Cauchy de la serie y la de Cauchy de producto de la serie en la RHS: lleva a la

$$\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{1}{i!}\sum_{j=0}^{+\infty}\frac{(-1)^j}{(x+j)j!}=\sum_{k=0}^{+\infty}\sum_{l=0}^{k}\frac{(-1)^{k-l}}{(x+k-l)l!(k-l)!}$$

Las cosas parecen tan complicado como antes. La integración o derivating $f(x)$ término por término habría que saber de una forma general para la integral/derivado de la $f_n(x)=\prod_{k=0}^{n}\frac{1}{x+k}$: no parece imposible encontrarla, pero creo que no sería de gran uso práctico; por otra parte, la serie no converge uniformemente en todo intervalo de $(0,+\infty)$. Lo mismo va para la serie de los RHS. Trabajando hacia atrás, pensé en la búsqueda de su integral/serie en el intervalo de $[M,+\infty)$ : he obtenido

$$\int \left (e\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(x+n)n!} \right ) dx =e\sum_{n=0}^{+\infty} \int \frac{(-1)^n}{(x+n)n!} dx=e\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n!}\log(x+n)+C$$

Yo no puedo ir lejos de aquí, y ni siquiera estoy seguro de si lo que he hecho es correcto.

Pregunta: Son las dos primeras partes correcta? Lo que podría ser una buena manera de demostrar la igualdad en la tercera parte?

Answer 1

Para el resto de tercer punto, me gustaría utilizar la fórmula $$f_n(x)=\frac1{n!}\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{n}dt.$$ Intercambiando el orden de la suma y de la integración, obtenemos $$\begin{align*} f(x)&=\int_0^1 t^{x-1} \left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(1-t)^n}{n!}\right)dt =\int_0^1 t^{x-1}e^{1-t}dt=\\&=e\sum_{k=0}^{\infty}\int_0^1\frac{(-1)^k t^{x-1+k}}{k!}dt=e\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(x+k)k!}. \end{align*}$$