La función de onda con una diferencia de potencial

Question

Tengo una partícula y de un potencial de $V(x)=\frac{\hbar^2}{2m}k\delta(x)$.

Donde $\delta (x)$ es la función Delta, y estoy interesado en las soluciones de la estacionaria de la ecuación de Schroedinger.

Si $\psi_1$ es la solución para $x<0$$\psi_2$$x>0$, se debe a que,$\psi_1'(0) \neq \psi_2'(0)$, debido a la función delta.

Ahora he leído que la condición es $$\psi_2'(0) -\psi_1'(0) = -k\psi_2(0).$$

Mi pregunta es: ¿por qué? ¿Cómo puedo llegar a esta conclusión?

Answer 1

Con una función delta potencial de la partícula es libre en ambos lados de la barrera: $$ \psi(x)=\begin{cases}\psi_L(x)=A_re^{ikx}+A_le^{-ikx} \\ \psi_R(x)=B_re^{ikx}+B_le^{-ikx}\end{casos} $$ donde $A_i,\,B_i$ son constantes tales que $A_r+A_l=B_r+B_l$ (es decir, $\psi(x)$ cumple la función continua de la condición).

Pero en la barrera que tiene el problema que $V(0)=\infty$. Así que para resolver este problema, podemos utilizar la ecuación de Schroedinger y la integran más de alguna pequeña región $\left[-\epsilon,\,\epsilon\right]$ y, a continuación, deje $\epsilon\to0$: $$ -\frac{\manejadores^2}{2m}\int_{-\epsilon}^\epsilon\psi"\,dx+\int_{-\epsilon}^\epsilon V\psi\,dx=E\int_{-\epsilon}^\epsilon\psi\,dx $$ El primer término es claramente $d\psi/dx$ evaluado en dos puntos. El último término tiende a cero en el límite de $\epsilon\to0$ (recordemos que $E$ es constante y finita, de modo que como $\epsilon\to0$, el ancho llega a 0, y el valor entero).

Para el potencial plazo, la función delta tiene la gran propiedad de que $$ \int\delta(x-a)f(x)\,dx=f(a) $$ Así, que a medio plazo se convierte en $\left.\psi(x)\right|_{-\epsilon}^\epsilon$. Luego se combinan estos dos para obtener $$ -\frac{\hbar^2}{2m}\left[\psi'\left(+\epsilon\right)-\psi'(-\epsilon)\right]+\left.\lambda\psi(x)\right|_{-\epsilon}^{\epsilon}=0 $$ Como $\epsilon\to0$, podemos obtener la relación que usted está confundido sobre: $$ \psi'_R(0)-\psi'_L(0)=+k\psi(0) $$

Answer 2

Ver esto, comienzo a "Una segunda relación puede ser encontrado por el estudio de la derivada de la función de onda." Para tu problema, $\lambda = \hbar^2 k / 2 m$.

La idea es integrar la ecuación de Schrödinger en el intervalo de $\left(-\epsilon, \epsilon\right)$ y deje $\epsilon \rightarrow 0$.