La búsqueda de soluciones para la expresión a ser un cuadrado perfecto

Question

Determinar todos los enteros tales que $$ n^4- n^2 +64$$ es el cuadrado de un entero.

Las dos primeras líneas de la solución dada en el libro de texto es la siguiente:

Desde $n^4-n^2+64>(n^2-1)^2. $ Para algunos no entero negativo $k$, $n^4-n^2+64=(n^2+k)^2$.

No entiendo lo que el autor trata de decir aquí. No puede este problema, que puede hacerse de otra manera?

Answer 1

Una solución alternativa ... Tenemos $n^4-n^2+64=A^2$. Multiplica esto por $4$ y completa el cuadrado de $(2n^2-1)^2+255=4A^2$. Así \begin{eqnarray*} (2A+2n^2-1)(2A-2n^2+1)= 3 \times 5 \times 17. \end{eqnarray*} Esto le da
\begin{eqnarray*} 2A+2n^2-1 = x \\ 2A-2n^2+1= y \end{eqnarray*} Hay $4$ valores posibles para $(x,y)$ ... $(15,17),(17,15),(51,5),(85,3),(255,1)$. Estos llevan a $(A,n^2)$ con los valores de $(8,0),(8,1),(14,12),(22,21),(64,64)$. La primera segunda y última voluntad de dar respuestas válidas $\color{red}{n=0}$, $\color{red}{n= \pm 1}$ y $\color{red}{n= \pm 8}$.

Answer 2

Si ( con números enteros $a \geq 1$) $$ (a-1)^2 < w < a^2, $$ a continuación, $w$ no es un cuadrado. Supongo que puedo añadir que, a continuación, $$ a-1 < \sqrt w < a, $$ de modo que $\sqrt w$ no es un número entero, se encuentra estrictamente entre dos enteros consecutivos.

Como de costumbre, hay un par de casos para comprobar pequeño $w$

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Se le da $n^4 - n^2 + 64.$, $(n^2)^2 = n^4.$ $(n^2 - 1)^2 = n^4 - 2 n^2 + 1.$

Para $n \geq 9$ tenemos $n^2 > 64$, de modo que $n^4 - n^2 + 64 < n^4.$

Para $n \geq 8,$ $$ n^4 - n^2 + 64 - (n^2 - 1)^2 = n^2 - 63 > 0, $$ lo $$ n^4 - n^2 + 64 > (n^2 - 1)^2. $$

Muy bien, para $n \geq 9 $ tenemos $$ (n^2 - 1)^2 < n^4 - n^2 + 64 < (n^2)^2 $$ so that $n^4 - n^2 + 64$ is NOT a square for $n \geq 9.$

Usted todavía necesita para comprobar $n=0,1,2,3,4,5,6,7,8.$

Answer 3

Siguiendo al autor de la solución, ya que la $n^4-n^2+64>(n^2-1)^2$ cualquier $n^4-n^2+64$ lo que equivale a un cuadrado puede ser escrito como $(n^2+k)^2$ $k$ un entero no negativo (es decir,$k>-1$$(n^2-1)^2$). Eso significa que $$n^4-n^2+64 = n^4+2kn^2+k^2$$ y $$n^2=\frac{64-k^2}{(2k+1)}.$$ We need to check for $0\leq k\leq 8$ (since $n^2>0$) to see which values are squares, and find only $k=0, 7$ and $8$ work giving us the solutions $n=0, n=\pm1$, and $n=\pm8$.

Answer 4

$$(n^2-x)^2=n^4-n^2+64=n^4-2xn^2+x^2$$ donde $x$ es un número entero.A continuación, $$n^2=\dfrac{x^2-64 }{2x-1 }\geq 0$ $ , por tanto multiplicando ambos lados por 4 $$4n^2=\dfrac{4x^2-1+1-256 }{2x-1 }=2x+1-\dfrac{255}{2x-1}$$ Desde $255=1\cdot 3\cdot 5\cdot 17 $, entonces el cociente es un número entero sólo si $$2x-1=\pm 3^a5^b17^c$$ where $a,b,c \in\{0,1\}$

Lo que dará como resultado: $$n\in \{0,\pm 1, \pm 8\}$$

Answer 5

Claramente $n^4$ es un cuadrado, ya que $(n^2)^2=n^4$. El siguiente más pequeño cuadrado es $(n^2-1)^2 = n^4-2n^2+1$, que es claramente inferior a la expresión dada. Así que si $n^4-n^2+64$ es un cuadrado, tiene que ser no menos de $n^4$, es decir, tenemos $64\ge n^2 \implies |n|\le8$ (es decir, el número de soluciones finito y pequeño)

Podemos ver por la inspección que el $n=\pm8$ proporciona una solución donde la $n^4-n^2+64=n^4$, que es cuadrada, sin más comprobaciones. Otras soluciones que implican un cuadrado mayor que $n^4$, que es para algunos $k>0,$ $(n^2+k)^2 = n^4+2kn^2+k^2$. Necesitaríamos $2kn^2+k^2 = -n^2+64$ dar $64=(2k+1)n^2+k^2$. La comprobación de los valores de $k$$8$, podemos encontrar soluciones intermedias $(k,n^2)=\{(0,64), (1,21),(2,12), (7,1),(8,0)\}$, de los cuales sólo $k=\{8,7,0\}$ dar valores enteros de a $n$ $\{0, \pm1,\pm8\}$ (el último de los cuales ya hemos señalado).