$\lim \limits_{n \to \infty}$ $\prod_{r=1}^{n} \cos(\frac{x}{2^r})$

Question

$\lim \limits_{n \to \infty}$ $\prod_{r=1}^{n} \cos(\frac{x}{2^r})$

¿Cómo simplifico este límite?

He intentado multiplicar dividir $\sin(\frac{x}{2^r})$ para utilizar la fórmula de medio ángulo, pero no da una telescópica que lo habría simplificado.

Answer 1

$$\prod_{r=1}^{\infty} \frac{\cos (x/2^r) \sin (x/2^r)}{\sin (x/2^r)} = \prod_{r = 1}^{\infty} \frac{\sin (x/2^{r-1})}{2\sin(x/2^r)} = \lim_{r \to \infty} \frac{\sin x}{2^r \sin (x/2^r)}$$

¿Puedes seguir desde aquí? Recuerda que $\lim_{t \to 0} \frac{\sin \alpha t}{t} = \alpha$ .

Answer 2

Sugerencia: Utilizar la identidad $\sin 2t = 2\sin t \cos t$ tenemos

$$\prod_{r = 1}^n \cos \frac{x}{2^r} = \prod_{r = 1}^n \frac{\sin \frac{x}{2^{r-1}}}{2\sin \frac{x}{2^r}} = \frac{\sin x}{2^n \sin \frac{x}{2^n}}$$

Ahora utiliza el hecho de que $(\sin t)/t \to 1$ como $t\to 0$ para demostrar que el límite de la expresión anterior es $(\sin x)/x$ .

Answer 3

$$\lim \limits_{n \to \infty} \left(\prod_{r=1}^{n} \cos\left(\frac{x}{2^r}\right)\right)=\lim \limits_{n \to \infty} \left(\frac{\sin(x)\csc\left(\frac{x}{2^n}\right)}{2^n}\right)=\frac{\sin(x)}{x}$$