desigualdad determinante $\det(A^2+AB+B^2)\geq\det(AB-BA)$

Question

$A,B$ son dos $2\times 2$ matrices reales, entonces $$\det(A^2+AB+B^2)\geq\det(AB-BA)$$

La desigualdad es equivalente al siguiente problema: Sea $X=A+\dfrac{B}{2},Y=-\dfrac{B}{2}$

$$\det[(X-Y)(X+Y)-2(X^2+Y^2)]4\det(XY-YX)$$

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=353&t=588819

Answer 1

$\square$ Ya que para cualquier $2\times 2$ matriz $M$ uno tiene $$2\operatorname{det}M=\left(\operatorname{Tr}M\right)^2-\operatorname{Tr}M^2,\tag{1}$$ la desigualdad que queremos demostrar es equivalente a \begin{align}\left(\operatorname{Tr}(A^2+B^2+AB)\right)^2&\geq \operatorname{Tr}\left(\left(A^2+B^2+AB\right)^2-\left(AB-BA\right)^2\right)=\\ &=\operatorname{Tr}\left(A^4+B^4-ABAB+2A^3B+2AB^3+4A^2B^2\right). \tag{2}\end{align} Por otro lado, utilizando (1) para reescribir la desigualdad se demuestra aquí (mencionado en los comentarios) y sustituyendo en él $B\rightarrow -B$ obtenemos exactamente la misma desigualdad (2). $\blacksquare$

Answer 2

Como las matrices invertibles son densas en el espacio matricial, podemos suponer que $A$ es invertible. A la izquierda y a la derecha se multiplican ambos lados por $\det(A^{-1})$ la desigualdad en cuestión se convierte en $$\det(I + BA^{-1} + A^{-1}B\,BA^{-1}) \ge \det(BA^{-1} - A^{-1}B).\tag{1}$$ Por lo tanto, basta con demostrar que $$\det(I + X + YX) \ge \det(X-Y)\tag{2}$$ para cualquier invertible $X,Y$ que son similares entre sí. Sea $X=kI+X_0$ y $Y=kI+Y_0$ , donde $X_0$ y $Y_0$ son dos matrices nilpotentes. Entonces $(2)$ se puede reescribir como $$\det\left((1+k+k^2)I + (k+1)X_0 + kY_0 + Y_0X_0\right) \ge \det(X_0-Y_0).\tag{3}$$ Si $X_0=Y_0=0$ la desigualdad es trivial. Supongamos que $X_0, Y_0$ son distintos de cero. Así, por un cambio de base, podemos suponer que $$ Y_0=\pmatrix{0&1\\ 0&0},\ X_0=\pmatrix{p&-q\\ r&-p}$$ con $qr=p^2$ . Si se calculan ambos lados de $(3)$ directamente utilizando las entradas de $X_0$ y $Y_0$ se encontrará que el LHS es igual a $(1+k+k^2)^2 + r$ y el lado derecho es $r$ . Ahora la desigualdad se deduce inmediatamente.

Answer 3

Para dos $2\times2$ matrices $A$ y $B$ se cumple la siguiente identidad: $\renewcommand{\tr}{\operatorname{tr}}$ $\renewcommand{\adj}{\operatorname{adj}}$ $$ \det(X+Y) \equiv \det(X) + \det(Y) + \tr(X\adj(Y)).\tag{$ \N - El brindis $} $$ Por lo tanto, \begin{align} \det(AB-BA) &=2\det(AB) + \tr(AB\adj(-BA))\\ &=2\det(AB) - \tr(AB\adj(A)\adj(B)). \end{align} Escribe $t=\tr(A\adj(B))=\tr(B\adj(A))$ . Entonces \begin{align} &\det(A^2+AB+B^2)\\ =&\det((A+B)^2 - BA)\\ =&\det((A+B)^2) + \det(-BA) + \tr((A+B)^2\adj(-BA))\quad\text{ by } (\ast)\\ =&\det(A+B)^2 + \det(AB) - \tr((A^2+B^2+AB+BA) \adj(A)\adj(B))\\ =&\det(A+B)^2 + \det(AB) - (\det(A)+\det(B))t - \tr(AB \adj(A)\adj(B)) - 2\det(AB)\\ =&\left(\det(A)+\det(B)+t\right)^2 - 3\det(AB) - (\det(A)+\det(B))t + \det(AB-BA)\\ =&\left(t + \frac{\det(A)+\det(B)}2\right)^2 + \frac34\left(\det(A)-\det(B)\right)^2 + \det(AB-BA)\\ \ge&\det(AB-BA). \end{align}