Dejemos que $\mathcal{H}$ sea un espacio de Hilbert y $\kappa(\mathcal{H})$ el $C^*$ -de operadores compactos sobre $\mathcal{H}$ . Por la pequeñez/rigidez de $\kappa(\mathcal{H})$ Me refiero a los siguientes datos de la colección sobre $\kappa(\mathcal{H})$ .
Dejemos que $\mathcal{A}$ ser un $C^*$ -subálgebra de $\kappa(\mathcal{H})$ . Si $\mathcal{A}$ es irreducible entonces $\mathcal{A}=\kappa(\mathcal{H})$ .
Los únicos ideales cerrados en $\kappa(\mathcal{H})$ son $\{0\}$ y $\kappa(\mathcal{H})$ .
Dejemos que $\mathcal{B}$ ser un $C^*$ -álgebra en $\mathcal{L}(\mathcal{H})$ . Si $\mathcal{B}\cap\kappa(\mathcal{H})$ no es trivial, entonces $\mathcal{B}\supset\kappa(\mathcal{H})$ .
$\kappa(\mathcal{H})$ es tan pequeño que no puede contener irreducibles adecuados $C^*$ -o ideales propios; y sólo toca esos $C^*$ -algebras que se contienen completamente a sí mismas.
También tenemos los siguientes hechos sobre las representaciones de $\kappa(\mathcal{H})$ :
Dejemos que $\mathcal{A}$ ser un $C^*$ -álgebra en $\kappa(\mathcal{H})$ . Cada representación no degenerada de $\mathcal{A}$ es la suma de las representaciones irreducibles ortogonales que son equivalentes a la representación identidad.
Y en particular,
La única representación irreducible de $\kappa(\mathcal{H})$ es la identidad.
Estos describen la estructura muy rígida de $\kappa(\mathcal{H})$ .
En todos los libros que he leído, la demostración de esta serie de hechos se basa en la noción de proyecciones mínimas, en particular la siguiente
Dejemos que $\mathcal{A}$ ser un $C^*$ -subálgebra de $\kappa(\mathcal{H})$ . Una proyección $E$ en $\mathcal{A}$ es mínimo si y sólo si $E\mathcal{A}E=\mathbb{C}E$ .
Esta línea de argumentación parece ya estándar y, de hecho, es muy inteligente y clara. Pero también es un poco engañosa, al menos para mí. Así que me pregunto si podemos demostrar estos hechos independientemente de las proyecciones mínimas (o al menos tratar de ocultarlas a las bambalinas). Si esto se puede hacer, entonces realmente espero ver la prueba (un boceto o algunas referencias serían suficientes). Si no se puede hacer, entonces me gustaría saber la razón.
¡Muchas gracias!
