Transformada de Laplace o Ecuación Característica?.

Question

Los defensores del uso de la Transformada de Laplace en ecuaciones diferenciales afirman que es más fácil y rápido, pero ¿es siempre así? A menudo he descubierto que resolver una EDO a través de la ecuación característica y el uso de coeficientes indeterminados es significativamente más fácil y menos consumidor de tiempo. ¿Cuál es tu opinión? Gracias.

Answer 1

Al haber enseñado este curso recientemente, mi opinión.

1. Para ecuaciones homogéneas, por supuesto, no hay diferencia; de cualquier manera tienes que factorizar el polinomio característico y sin usar transformadas de Laplace todavía puedes simplemente escribir las soluciones exponenciales.

2. Para ecuaciones no homogéneas donde el término no homogéneo es de la forma adecuada para coeficientes indeterminados, por supuesto, tanto esto como las transformadas de Laplace siguen siendo opciones. Ahora, para un término no homogéneo como $t^2 e^{-3t} \sin(2t)$, ambos métodos implicarán un gran fastidio: ya sea mucho uso de la regla del producto para coeficientes indeterminados, o mucho uso de la regla del cociente para la transformada de Laplace. Pero, y esto es más o menos una heurística vaga: al resolver una ecuación como $$x^{(4)} + x = t^2 e^{-3t} \sin(2t)$$ usando coeficientes indeterminados tendrás que tomar una cuarta derivada usando la regla del producto, mientras que con las transformadas de Laplace solo tienes que tomar la segunda derivada de $(s + 3)/((s + 3)^2 + 4)$, que, aunque molesto, no es tan malo, y crucialmente, no empeora si el grado de la ecuación aumenta.

   Los cálculos con coeficientes indeterminados mejoran un poco si usas exponenciales complejas, pero creo que este punto sigue siendo válido.

3. Este punto no es tan convincente para ecuaciones de bajo orden. Al resolver ecuaciones de orden 2, la transformada de Laplace puede de hecho involucrar más derivadas que los coeficientes indeterminados, dependiendo de cuán alto sea el polinomio en el término no homogéneo. Por supuesto, los coeficientes indeterminados implican resolver un sistema de ecuaciones bastante grande en ese caso, pero en realidad no es un sistema muy difícil, mientras que tomar esas derivadas realmente es bastante malo.

4. Las transformadas de Laplace tienen una ventaja computacional al aplicar las condiciones iniciales, ya que no tienes que pasar por la solución general para descubrir las constantes desconocidas. Esto convierte un proceso de solución de dos pasos en uno: tomar la transformada de Laplace, lo que implica aplicar las condiciones iniciales de inmediato, y luego reorganizar y tomar la transformada inversa. Con coeficientes indeterminados tienes primero un cálculo terrible para encontrar los coeficientes eponímos, y luego otro cálculo terrible (de la misma naturaleza exactamente) para encontrar los coeficientes desconocidos de la parte homogénea de la solución que se ajustan a las condiciones iniciales.

5. Para términos no homogéneos que involucren cualquier otro tipo de función, no puedes usar coeficientes indeterminados. Eso no quiere decir que la transformada de Laplace sea la única opción: si la función es analítica entonces puedes usar la expansión en series, y probablemente sea mucho más eficiente para simplemente obtener una respuesta, y una bastante bien aproximada. Las transformadas de Laplace no tienen ninguna ventaja teórica en este ámbito del problema.

6. El único lugar donde realmente debes usar transformadas de Laplace es si la ecuación involucra una distribución de algún tipo: una función delta, función escalón, o algo así. De hecho, realmente solo puedes definir tal ecuación diferencial usando algún tipo de transformada integral, ¡porque qué más significa la función delta? Eso es lo que son las distribuciones.

7. Si la ecuación no tiene coeficientes constantes, probablemente es mejor utilizar métodos de series. Pero como preguntas sobre la ecuación característica, creo que esto no es lo que te preocupa.

En resumen, las transformadas de Laplace tienen la ventaja de que proporcionan una solución particular más fácilmente, y proporcionan una separación de trabajo entre las partes homogéneas y no homogéneas de la ecuación, en lugar de solo una separación de la solución. En cuanto a cuál es mejor: no hay una respuesta. Ten en cuenta los puntos anteriores y mira cuál es el factor dominante en tu problema, y por supuesto, adquiere algo de experiencia (no puedo decir yo tengo tanta experiencia yo mismo, pero con algo de experiencia matemática general, puedo sacar más provecho de lo que he visto).

Answer 2

Tenga en cuenta que la técnica de transformada de Laplace es eficiente para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con coeficientes constantes.