Un funcional es una asignación de un espacio vectorial subyacente escalares del campo. Así, por ejemplo, se podría definir un funcional de $ C^{1}([a,b])$ $\mathbb{R}$por
$J[u]=\int_{a}^{b}\sqrt{1+(u')^{2}} dx$
Por supuesto, hay otras opciones para el dominio.
Para una derivación de la fórmula de longitud de arco puede consultar la página de la Wikipedia sobre la longitud de arco (http://en.wikipedia.org/wiki/Arc_length). Esto también tiene que ser un libro de texto de cálculo (por ejemplo, Stewart, Cálculo). Si usted tiene alguna pregunta específica acerca de la derivación podía volver y preguntar. Básicamente, partición del intervalo aproximado de la curva con un polígono, exprese la longitud de la poligonal como una suma de Riemann y, a continuación, tomar un límite.
Edit: Basada en el comentario que voy a intentar explicar lo que es un funcional es.
Un funcional es un tipo específico de la función. Toma un vector (elemento de un espacio vectorial) como entrada y devuelve un escalar (elemento de la base de escalar campo). En el cálculo de variaciones usted va a lidiar con funcionales que el mapa de alguna función de espacio para los números reales. Por ejemplo, $C^{1}([a,b])$ es el espacio vectorial formado de todos continuamente diferenciable (valor real) de las funciones de $[a,b]$. El subyacente campo escalar es $\mathbb{R}$. $J[u]$, como se definió anteriormente, es un funcional que toma elementos de $C^{1}([a,b])$ y los asigna a los números reales.
Otro ejemplo sería considerar la posibilidad de
$I[f]=\int_{0}^{1} f~ dx$
donde $f \in C([0,1])$. Este sería un mapeo funcional $C([0,1])$$\mathbb{R}$.
