Si $A$ es una matriz antisimétrica entonces $A+I$ es invertible

Question

Deje que $A$ ser una matriz antisimétrica con entradas reales. ¿Cómo puedo mostrar que $A+I$ es invertible?

Answer 1

\begin{align*} (A + I)x = 0 &\implies x^T (A + I) x = 0 \\ &\implies \underbrace{x^T A x}_0 + \underbrace{x^T I x}_{\|x\|^2} = 0 \\ &\implies x = 0. \end{align*} Esto demuestra que el espacio nulo de $A + I$ es trivial, lo que significa que $A + I$ es invertible. He utilizado el hecho de que $x^T A x = 0$ para todos $x$ que se deduce de la antisimetría de $A$ .

Answer 2

Desde $A^T = -A$ ,

$(I + A)(I - A) = I- A^2 = I + A^TA; \tag{1}$

para cualquier vector $x \ne 0$ ,

$\langle x, (I + A^TA)x \rangle = \langle x, x \rangle + \langle x, A^TAx \rangle = \langle x, x \rangle + \langle Ax, Ax \rangle$ $ = \Vert x \Vert^2 + \Vert Ax \Vert^2 > 0, \tag{2}$

lo que implica

$(I + A^TA)x \ne 0; \tag{3}$

(3) implica a su vez $I + A^TA$ es no singular, por lo que las matrices factoriales $I \pm A$ en (1) son también no singulares.

¡Y así es como se puede mostrar!

Answer 3

Otro posible enfoque:

Desde $A$ es normal, se deduce que $A$ es diagonalizable (sobre $\mathbb{C}$ Por supuesto), digamos $P^{-1}AP = D$ es diagonal. Entonces $P^{-1}(A+I)P = D+I$ por lo que basta con demostrar que $0$ no aparece como entrada diagonal de la matriz compleja $D+I$ . En otras palabras, basta con demostrar que $-1$ no es un valor propio de $A$ .

Esto es cierto porque si $Av=-v$ entonces $$-|v|^2 = \langle -v, v\rangle = \langle Av, v\rangle = \langle v, A^tv\rangle = \langle v,-Av \rangle=\langle v,v \rangle = |v|^2$$ Así, $|v|=0$ Así que $v=0$ y por lo tanto $v$ no puede ser un vector propio.

En realidad, este argumento (al igual que los demás) puede generalizarse fácilmente para demostrar que $A+dI$ es invertible, para cualquier real $d \neq 0$ .