Límite de $a_{n+2}=a^2_{n+1}+\frac{1}{6}\cdot a_n+\frac{1}{9}$

Question

Encontrar un límite de secuencia: $$a_{n+2}=a^2_{n+1}+\frac{1}{6}\cdot a_n+\frac{1}{9}$$ $$a_1=0,a_2=0$$

Traté de demostrar que $a_n$ es acotada y monótona, pero yo no podía probar que $a_n$ es monótona (por la fuerte inducción). Así que por favor dar una idea de cómo mostrar que $a_n$ es monótona.

Answer 1

(esta prueba tarda un poco más, pero da una cuidada límite en la velocidad de convergencia)

1. Si quieres un universal obligado de la forma $a_n\le M$, la recursividad te dice que vas a necesitar $M\le M^2+\frac{M}{6}+\frac{1}{9}$, lo que sería equivalente a $(6M-1)(3M-2)\le0$. El menor enlazado esto nos permite tomar es $M=\frac{1}{6}$, es decir, que $a_n\le\frac{1}{6}$ todos los $n$. La alimentación de este de nuevo en la recursividad, vemos que esta desigualdad de hecho se espera.

2. Si usted está esperando un límite de $L$ a existir, la recursividad te dice que vas a necesitar $L=L^2+\frac{L}{6}+\frac{1}{9}$, y similar razonamiento de antes da que la única límites de $\frac{1}{6}$$\frac{2}{3}$. Pero de haber establecido los anteriores límites en $a_n$, podemos ver que si el límite no existe, necesariamente, ser $\frac{1}{6}$.

3. Con el objetivo de mostrar que el $a_n\to\frac{1}{6}$, podemos establecer $a_n=\frac{1}{6}-b_n$ y el trabajo a través del álgebra para obtener la recurrencia $b_{n+2}=\frac{b_n}{6}+\frac{b_{n+1}}{3}-b_{n+1}^2$. Nuestro trabajo anterior le da a ese $0<b_n\le \frac{1}{6}$ todos los $n$, y algunos examen indicios de que esta $b_n$ cae a 0 geométricamente, por lo tanto, buscamos un límite de la forma $b_n\le Cr^n$. Apelando a una fuerte inducción de estilo de argumento, tendríamos:

$$b_{n+2}=\frac{b_n}{6}+\frac{b_{n+1}}{3}-b_{n+1}^2\le\frac{Cr^n}{6}+\frac{Cr^{n+1}}{3}=Cr^{n+2}\left(\frac{1}{6r^2}+\frac{1}{3r}\right)$$

Así que, si podemos hacer que $\left(\frac{1}{6r^2}+\frac{1}{3r}\right)\le 1$, se puede obtener de esta desigualdad retención (para un adecuado $C$) por la fuerte inducción. $r=\frac{1+\sqrt7}{6}$ es el más pequeño de $r$ que funciona para esto, y se nota que $r\le1$, garantizando la convergencia.

Así, vemos que la $0<b_n<\frac{r^{n-2}}{6}$, y, por tanto,$b_n\to 0, a_n\to \frac{1}{6}$.

Answer 2

$ a_3-a_2\ge 0 $. Asumir, $ a_{k+1}-a_k\ge0 $ por cada $ k\le n $ a continuación, $ a_{n+2}-a_{n+1}= a_{n+1}^2-a_n^2+(a_{n}-a_{n-1})/6 $. que es mayor o igual a 0, ya que $ a^2-b^2=(a+b)(a-b) $ , y en la asunción. Esta se asienta la monótona parte.

Answer 3

$$a_{n+2}≥\frac19$$ $x^2-\frac56x+\frac19=0$ Esta ecuación raíces,$\frac16, \frac23$. Por $a_1=a_2=0$ convergen a$\frac16$. $$\frac16＞a_{n}≥\frac19$$

y al $a_{k+1}≥a_{k},a_{k+2}≥a_{k+1},$

$$a_{k+3}-a_{k+2}=a^2_{k+2}+\frac{1}{6}\cdot a_{k+1}+\frac{1}{9}-a_{k}$$ $$≥^2_{k}+\frac16a_{k}+\frac19-a_k ≥(a_k-\frac5{12})^2-\frac1{16}≥0$$ ∴$a_n≥a_{n-1}$