¿Preservar la compacidad y la conectividad implica continuidad para las funciones entre espacios localmente conectados y localmente compactos?

Question

En esta pregunta: ¿La función que preserva la compacidad y la conexión no es un ejemplo continuo? Se menciona que "una función entre espacios topológicos localmente compactos y localmente conectados que preserva subconjuntos conectados y compactos es de hecho continua". Me he acercado a una prueba para las funciones entre $ \mathbb{R} $ pero la afirmación más general de arriba parece mucho más interesante, sin embargo no he sido capaz de encontrar una prueba en ningún sitio o de pensar en una forma de demostrarla yo mismo.

¿Podría alguien proporcionar una referencia, donde pueda encontrar la prueba de eso? O un contraejemplo si la afirmación es realmente falsa.

EDIT: Como se ha señalado en una respuesta más abajo, la afirmación resulta falsa con un contraejemplo muy sencillo, en el que los espacios no son Hausdorff. ¿Quizás la condición adicional de que ambos espacios sean Hausdorff sea suficiente para que sea verdadera?

EDIT2: Ya que algunas personas preguntaron, aquí está mi prueba para $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ :

Supongamos que f no es continua en un punto $ x$ . Podemos encontrar una secuencia $ x_n \rightarrow x $ monótonamente con ninguna subsecuencia de $ f(x_n) $ convergiendo a $ f(x) $ .

Si $ f(x_n) $ no es constante para un número infinito de $ n $ podemos encontrar una subsecuencia $ x_{n_k} $ tal que $ f(x_{n_k}) $ es estrictamente creciente o decreciente. Por lo tanto, $ f(x_{n_k}) $ no puede converger a $ f(x) $ ni a $ f(x_{n_k}) $ para cualquier $ k $ . $ \{ x_{n_k} \} \cup \{ x \} $ es compacto, pero $ \{ f(x_{n_k}) \} \cup \{ f(x) \} $ no lo es, lo que da una contradicción, ya que $ f $ preserva la compacidad.

Si $ f(x_n) = c $ para un número infinito de $ n $ podemos suponer que es constante para todo $ n $ pasando a una subsecuencia si es necesario. $ f $ preserva la conectividad, por lo que para los argumentos entre $ x $ y $ x_n $ toma todos los valores entre $ f(x) $ y $ c $ . Para cada $ n $ toma $ y_n $ entre $ x $ y $ x_n $ para que $ 0 < |f(y_n) - c| < \frac{1}{n} $ . $ \{y_n\} \cup \{x\} $ es compacto, pero la imagen no lo es, ya que $ f(y_n) \rightarrow c \ne f(x)$ . Contradicción.

Answer 1

Definitivamente necesitas que el espacio objetivo sea Hausdorff. Teorema $\mathbf{5.4}$ de Gerlits, Juhász, Soukup y Szentmiklóssy, Caracterizar la continuidad preservando la compacidad y la conectividad dice que si $X$ es $T_3$ y todo mapa que preserva la conectividad y la compacidad de $X$ a un $T_1$ es continua, entonces $X$ es discreto. Por lo tanto, debe haber un $T_1$ espacio $Y$ y un mapa que preserva la conectividad y la compacidad $f:\Bbb R\to Y$ tal que $f$ no es continua. De hecho, dejemos que $Y$ denotan $\Bbb R$ con la topología cofinita, y definir

$$f:\Bbb R\to Y:x\mapsto\begin{cases} 1,&\text{if }x=2^{-n}\text{ for some }n\in\Bbb N\\ x,&\text{otherwise}\;. \end{cases}$$

Entonces $f$ no es continua, ya que la imagen inversa de $\{1\}$ no está cerrado en $\Bbb R$ . $Y$ es hereditariamente compacto, por lo que $f$ conserva ciertamente la compacidad. Por último, si $C\subseteq\Bbb R$ está conectado, entonces $|C|=1$ , en cuyo caso $f[C]$ está conectado, o $C$ contiene un intervalo abierto no vacío, en cuyo caso $f[C]$ es infinito y, por tanto, está conectado.

El resultado positivo que más se acerca a lo que usted desea es Corolario $\mathbf{2.4}$ del mismo documento, que dice que si $X$ es localmente compacto, localmente conexo y monotónicamente normal, y si $f$ es un mapa que preserva la conectividad y la compacidad de $X$ a un $T_3$ espacio, entonces $f$ es continua.

Answer 2

Creo que la afirmación general es falsa. Considere el conjunto $X = \{x_0, x_1\}$ con las topologías $\mathcal{T}_0 = \{\emptyset, \{x_0\}, \{x_0, x_1\}\}$ y $\mathcal{T}_1 = \{\emptyset, \{x_1\}, \{x_0, x_1\}\}$ . En ambas topologías, cada subconjunto es compacto y conectado. Así que ambos espacios son localmente conexos y localmente compactos, y además cualquier mapa entre ellos preserva tanto los subconjuntos conexos como los compactos. Pero el mapa de identidad $1_X: (X, \mathcal{T}_0) \to (X, \mathcal{T}_1)$ no es continua porque $\{x_1\}$ no está abierto en $\mathcal{T}_0$ .