El (verdadero) golpe de $\mathbb{R}^2$ está definido por $\tilde{\mathbb{R}}^2=\{(p,l)\in\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}\mathbb{P}^1|p\in l\}$, con la proyección de $\pi:\tilde{\mathbb{R}}^2\to\mathbb{R}^2$, dado por $(p,l)\mapsto p$.
Intuitivamente hablando, $\tilde{\mathbb{R}}^2$ se parece a la del avión, pero con muchos orígenes, uno para cada dirección.
Pregunta: ¿hay algún familiar de 2 dimensiones del colector a la que $\tilde{\mathbb{R}}^2$ es diffeomorphic?
Respuesta: ¡Sí! La banda de Moebius.
Explicación: $\tilde{\mathbb{R}}^2$ puede ser pensado como la tautológica de la línea de paquete de más de $\mathbb{R}\mathbb{P}^1$, mientras que la banda de Moebius es el (único) no-orientable línea paquete de más de $S^1$. Desde $\mathbb{R}\mathbb{P}^1$ $S^1$ son diffeomorphic, por lo que son la explosión de un avión y la banda de Moebius.
Lo que me estoy preguntando: ¿Cómo se asigna el golpe sobre la banda de Moebius? Alternativamente, cómo hacer que la imagen de estos dos (diferentes) de los objetos como el mismo?
Esta es una pregunta abierta, a la que no puede haber diferentes respuestas "correctas". Me gustaría escuchar cómo otras personas a entender esta imagen.
Pregunta extra: Si usted toma $S^2$, y el golpe en un punto, ¿qué se obtiene? Una botella Klein? Un plano proyectivo? Algo más? $S^2$ es el punto de compactification de $\mathbb{R}^2$, por lo que el golpe debe ser algo de un punto compactification de la banda de Moebius. ¿Qué es? Y de nuevo, ¿cómo te imaginas que?
