Isomorfo la incorporación de la $L^{p}(\Omega)$ a $L^{p}(\Omega \times \Omega)$?

Question

Deje $(\Omega,\mu)$ ser una medida finita del espacio que $\mu(\Omega)=1$. Supongamos $1\leq p \leq \infty$.

Deje $\psi \colon L^p(\Omega) \to L^p(\Omega \times \Omega)$ ser el mapa que los mapas de $f$ sobre la función de $(x,y)\mapsto \frac{1}{2}\big(f(x)+f(y)\big)$. El mapa de $\psi$ es contractiva.

1) Es isomorfo incrustación?

La respuesta es positiva (ver más abajo).

Preguntas de seguimiento:

2) ¿Cuál es la mejor constante$c$$\|\psi(f)\|_p\ge c\|f\|_p$?

3) ¿existe una limitada proyección de $L^p(\Omega \times \Omega)$ en el rango de $\psi$? Comentario: la respuesta a la Pregunta 1 implica que el rango de $\psi$ es un subespacio cerrado de $L^p(\Omega \times \Omega)$.

Answer 1

Allí estaba pidiendo a demostrar que el mejor coercitividad constante$c_p$$\psi$$2^{-1/p}$. En realidad esto no es cierto.

Para una determinada función simple $$ f=\sum\limits_{k=1}^n a_k\chi_{A_k} $$ denotar $x_k=\mu(A_k)$. Considere el caso especial $a_1=-1$, $a_2=0$, $a_3=1$ y $x_1=\varepsilon$, $x_2=1-2\varepsilon$, $x_3=\varepsilon$ donde $\varepsilon\in(0,2^{-1})$. Entonces $$ c_p\leq\Vert\psi(f)\Vert_p/\Vert f\Vert_p=(\varepsilon+2^{1-p}(1-2\varepsilon))^{1/p} $$ Desde el lado izquierdo es independiente de $\varepsilon$ llegamos a la conclusión de $$ c_p\leq\min_{\varepsilon\in(0,2^{-1})}(\varepsilon+2^{1-p}(1-2\varepsilon))^{1/p}=2^{(1-\max(2,p))/p} $$ Pero incluso el obligado $$ b_p=2^{(1-\max(2,p))/p} $$ no es áspera. Numérico de la prueba mostraron que para $p=3$, $a_1=0.079$, $a_2=0.079$, $a_3=-1$ con $x_1=0.879$, $x_2=0.99$, $x_3=0.022$ da $$ c_3< 0.612176<0.629960\aprox b_3 $$

Aquí es un código de Mathematica para comprobar esto

FNorm[a_, x_, n_, p_] := (Sum[Abs[a[[k]]]^p x[[k]], {k, 1, n}])^(1/p);
FImageNorm[a_, x_, n_, 
   p_] := (Sum[
     Abs[(a[[k]] + a[[l]])/2]^p x[[k]] x[[l]], {l, 1, n}, {k, 1, 
      n}])^(1/p);
FOpNorm[a_, x_, n_, p_] := FImageNorm[a, x, n, p]/FNorm[a, x, n, p]

OpNorm = 1;
A = {};
X = {};
p = 3;
With[{n = 3, R = 1, M = 100000}, For[i = 0, i < M, i++,
  a = RandomReal[{-R, R}, n];
  x = RandomVariate[GammaDistribution[1, 1], n];
  x = x/Total[x];
  norm = FOpNorm[a, x, n, p];
  If[norm < OpNorm, {OpNorm, A, X} = {norm, a, x}, Continue[]];
  ]
 ]
Print[{{OpNorm, 2.^((1-Max[2,p])/p)}, A, X}]