El mayor dominio donde $\text{Log}(z-z_0)$ es analítico

Question

Necesito encontrar el mayor dominio donde $\text{Log}(z-z_0)$ con la definición de que $\text{Log} z = \ln |z| +\text{Arg} \ z$ es analítica. Sé que $\text{Log} \ z$ es analítico en $\mathbb{C}-D^* $ , donde $D^* = \{x+iy; x\le 0, y=0\}$

Pero cómo aplicar eso para $\text{Log}(z-z_0)$ ? ¿No sería sólo el conjunto $S = \{z; \text{Re}(z-z_0)\le 0, \text{Im}(z-z_0)=0\}$ ?

Answer 1

Supongo que con $\log z=\log|z|+i\arg z$ te refieres al logaritmo principal.

Como ya has señalado, esta rama particular del logaritmo complejo es holomorfa en el conjunto llamado plano de hendidura , $\Bbb C_-:=\Bbb C\setminus{\Bbb R_{\le0}}$ que es, de hecho, el mayor dominio en el que el logaritmo principal es holomorfo.

Teniendo en cuenta la traslación $z\mapsto\log(z-z_0)$ esta función es de hecho holomorfa en $\Bbb C\setminus{S}$ , donde $$ S:=\{z\in\Bbb C\;:\;\Re(z-z_0)\le0,\;\Im(z-z_0)=0\} $$ que corresponde a la media línea horizontal que parte de $z_0$ yendo hacia la izquierda; cortando este conjunto del plano complejo, su logaritmo es efectivamente holomorfo.

Answer 2

En primer lugar, replanteemos la cuestión con rigor. El rama principal del logaritmo , $Log$ es la función definida en $\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_{\leq0}$ por $$ Log(z)=\log|z|+iArg(z), $$ [[Obsérvese el $i$ en la definición. Supongo que no lo has visto en la pregunta]].

donde $Arg$ El argumento principal es la función definida en $\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_{\leq0}$ por $$Arg(re^{i\theta})=\theta\hspace{.2cm} mod (-\pi,\pi).$$ La cuestión es que $Log$ es una función definida en su dominio y es analítica en él. No hay ningún dominio mayor en el que pueda ser analítica porque no hay ningún dominio mayor en el que esté definida. Lo que supongo que querías preguntar (perdón si era obvio) es si podemos ampliar $Log$ a una función definida en un dominio mayor $U\supsetneq\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_{\leq0}$ que es analítica? La respuesta es NO y la razón es que no podemos extender la definición de $Log$ un solo punto sin perder la continuidad:

Supongamos que $L$ es una extensión continua de $Log$ a $U\supsetneq\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_{\leq0}$ . Escoge $-x_0\in U$ . Si $L$ es continua en $-x_0$ entonces debemos tener $$ L(-x_0)=\lim_{y\searrow0}L(-x_0+iy)=\lim_{y\searrow0}Log(-x_0+iy)=\log x_0+i\pi, $$ $$ L(-x_0)=\lim_{y\nearrow0}L(-x_0+iy)=\lim_{y\nearrow0}Log(-x_0+iy)=\log x_0-i\pi $$

Así que el logaritmo principal es tan bueno como podría serlo. Ahora vamos a generalizar un poco:

$\bullet$ Traslaciones de $Log$ : Para un fijo $z_0\in\mathbb{C}$ considere $L_0(z):=Log(z-z_0)$ . Esta función se define en $z_0+\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_{\leq0}$ y podríamos querer extenderlo analíticamente a una función definida en un dominio mayor. Sin embargo, hacer el cambio de variables $w=z-z_0$ podemos aplicar el razonamiento anterior a $Log(w)=L_0(z)$ concluyendo que $L_0$ no puede extenderse continuamente también.

$\bullet$ $Log$ con otros argumentos: Para los fijos $\alpha$ considerar la argumento $Arg_\alpha(z):=Arg(ze^{-i\alpha})$ y la rama resultante del logaritmo $Log_\alpha(z):=\log|z|+iArg_\alpha(z)$ . Esta función se define en $\mathbb{C}\setminus\left(e^{i\alpha}\mathbb{R}_{\leq0}\right)$ y queremos extenderlo continuamente a un dominio mayor. Con el cambio de variables $w=ze^{i\alpha}$ el mismo argumento de antes demuestra que, una vez más, esto no se puede hacer.

$\bullet$ Arbitrario logaritmo : Hay otros logaritmos. Desde un punto de vista abstracto podríamos decir que un logaritmo es cualquier función analítica $L$ definido en un dominio $\Omega\subset\mathbb{C}$ tomando valores en $\mathbb{C}$ y tal que $$ e^{L(z)}=z,\hspace{.2cm}z\in\Omega. $$ [[Esta identidad nos dice que no podemos esperar nunca $L$ que se definan en todos los $\mathbb{C}$ porque $L(0)$ simplemente no puede tener sentido como $z\mapsto e^z$ no toma el valor $0$ . OK debemos evitar el origen $z=0$ pero seguimos esperando no tener que evitar un rayo entero desde el origen]].

¿Incluye esta definición una familia de logaritmos estrictamente mayor? Sí, y la razón se deduce del siguiente corolario

Teorema (Existencia de antiderivadas): Si $f$ es una función analítica en un dominio simplemente conectado $\Omega\subset\mathbb{C}$ entonces existe una función $F$ analítica en $\Omega$ tal que $F'(z)=f(z),\hspace{.2cm}z\in\Omega.$ Además, si $G$ es alguna otra función analítica en $\Omega$ tal que $G'(z)=f(z),\hspace{.2cm}z\in\Omega$ entonces $G=F+c$ para alguna constante $c\in\mathbb{C}$ .

Corolario (Existencia de logaritmos): Si $\Omega\subset\mathbb{C}$ es un dominio simplemente conectado tal que $0\not\in\Omega$ entonces existe una función analítica $F$ en $\Omega$ tal que $F'(z)=1/z,\hspace{.2cm}z\in\Omega$ . Además, si fijamos algunos $z_0\in\Omega$ y elegir un argumento $\theta_0$ de $z_0$ entonces $F$ se puede elegir de manera que $$ \left\{\begin{array}{l}F(z_0)=\log|z_0|+i\theta_0\\ e^{F(z)}=z,\hspace{.2cm}z\in\Omega.\end{array}\right. $$

Es decir, dado un camino lo suficientemente decente $\gamma:[0,\infty)\to\mathbb{C}$ con $\gamma(0)=0$ y $|\gamma(t)|\overset{t\to\infty}{\to}\infty$ entonces existe un logaritmo (analítico) definido en $\mathbb{C}\setminus\gamma([0,\infty))$ .

Hemos demostrado así que podemos evitar un rayo o una trayectoria desde el origen hasta $\infty_{\mathbb{C}}$ . ¿Podemos hacerlo mejor? No: Como muestra el siguiente argumento, debemos evitar un punto en cada círculo centrado en el origen como mínimo:

Supongamos que $L(z)=l(z)+ia(z)$ ---donde $l$ y $a$ denotan las partes real e imaginaria de $L$ --- es un logaritmo definido en un dominio $\Omega$ que contiene el círculo $C_r=\{z\in\mathbb{C}:|z|=r\}=\{re^{i\theta}:\theta\in\mathbb{R}\}$ . Escribir la condición $e^{L(z)}=z,\hspace{.2cm}z\in C_r,$ en forma polar obtenemos que $$ e^{ia(re^{i\theta})}=e^{i\theta},\hspace{.2cm}\theta\in\mathbb{R}. $$ Como $\alpha(\theta):=a(re^{i\theta})$ es continua esto implica $$ \alpha(\theta)=\alpha(0)+\theta,\hspace{.2cm}\theta\in\mathbb{R} $$ lo cual es una contradicción ya que lleva a $a(re^{i\theta})\neq a(re^{i(\theta+2\pi)})$ .