Continuidad de un mapa de composición en un espacio de medida finita

Question

Tengo una tarea problema soy incapaz de terminar. Podría alguien por favor me ayude a continuar?

Problema: Supongamos $(X, \mathcal{A}, \mu)$ es una medida finita del espacio (es decir, $\mu(x) < \infty$ ) y $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es acotada y continua. Definir una composición de asignación de $ F (u) = f \circ u$. Mostrar que si $1\leq p < \infty$ , el mapa de $ F: L^p(X) \to L^p(X)$ es continua.

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Mi trabajo: Vamos a $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ ser una secuencia de funciones que $ \| u_n - u \|_p \to 0.$ Tenemos que mostrar que $ \| F(u_n) - F(u) \|_p \to 0.$ Desde $f$ es acotado, existe $M\in \mathbb{R}$ tal que $|f(x)| < M $ todos los $x\in \mathbb{R}$. Por lo tanto dominantes en función de $h_n(x) = | f( u_n(x) ) - f(u(x))|^p $ $g(x) = (2M)^p $ y desde $ \int_X (2M)^p dx = (2M)^p \int_X d\mu = (2M)^p \mu(X) < \infty $, por el Teorema de Convergencia Dominada tenemos que $$ \lim_{n\to\infty} \int_X | f( u_n(x) ) - f(u(x))|^p dx = \int_X \lim_{n\to\infty} | f( u_n(x) ) - f(u(x))|^p dx. $$ By the continuity of $f$, the absolute value function and exponentiation by $p$, we can then get $$ \lim_{n\to\infty} \int_X | f( u_n(x) ) - f(u(x))|^p dx = \int_X | f( \lim_{n\to\infty} u_n(x) ) - f(u(x))|^p dx. $$ Now, from here I am unsure how to proceed. One thing I know is that if $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ is a sequence of functions such that $ \| u_n - u \|_p \a 0$, then there exists a subsequence $(u_{n_k}) $ such that $u_{n_k}$ converges pointwise to $u$ almost everywhere. If we let $N$ denote the set where the pointwise convergence does not hold, then we have $$ \int_X| f( \lim_{n\to\infty} u_{n_k}(x) ) - f(u(x))|^p dx = \int_{X/N} 0 dx + \int_N | f( \lim_{n\to\infty} u_{n_k} (x) ) - f(u(x))|^p dx =0$$ where the first integral is $0$ because the integrand is $0$, and the second integral is zero because $\mu(N) = 0$. Por lo que muestra el límite quiero al menos por una larga, pero no sé cómo conectarse a los demás. Cualquier ayuda sería muy apreciada, pero he de preferir especialmente si su respuesta no termina de despegar en mi prueba dejando a la mayoría de los intacto, en lugar de tal vez completamente distinta a la de inicio. Gracias.

Answer 1

Podemos utilizar el hecho de que una secuencia que converge en $L^p$ tiene un casi-todos lados convergentes larga de la siguiente forma. Deje $u\in L^p$ y asumir que $F$ no es continua en a $u$. A continuación, podemos encontrar una secuencia $\{u_n\}\in L^p(X)$ $\delta >0$ tal que $$\lVert u-u_n\rVert_p \mbox{ converges to } 0 \mbox{ and }\lVert F(u)-F(u_n)\rVert_p\geq \delta\mbox{ for all }n.$$ Now, we can extract an almost-everywhere converging subsequence $\{u_{n_k}\}$. Since $F$ is continuous and bounded we can apply the dominated convergence theorem. Indeed, put $g_k\colon x\mapsto |f(u(x))-f(u_{n_k}(x))|^p$. Then $g_k\en L^1(X)$

• $|g_k(x)|\leq \left(2\sup_{t\in\mathbb R}|f(t)|\right)^p$ que es integrable dado que la medida de $X$ es finito.

• Deje $N\in\mathcal A$ tal que para todos los $x\in X\setminus N$ tenemos $\lim_{k\to +\infty}u_{n_k}(x)=u(x)$. La continuidad de $f$ muestra que tenemos $\lim_{k\to +\infty}f\circ u_{n_k}(x)=f\circ u(x)$ todos los $x\in X\setminus N$.

Tenemos que $\lim_{k\to \infty}\lVert F(u_{n_k})-F(u)\rVert_p=0$, mientras que tenemos $\lVert F(u_{n_k})-F(u)\rVert_p\geq \delta$.