Encontrar el periodo de una oscilación anarmónica sustituyendo la solución de SHM

Question

Me encontré con el siguiente problema y estoy confundido sobre la solución proporcionada.

El método de solución consiste en sustituir el resultado de SHM en una ecuación que es no armónico, y reordenar para encontrar cómo el período depende de la amplitud. Un resultado intermedio es que $\omega=\sqrt{3kx/m}$ . Si la frecuencia angular $\omega$ es una función de la distancia $x$ de la posición media, entonces, ¿cómo puede ser el movimiento armónico simple? Además, ¿cómo se satisface la ecuación diferencial #2 para SHM con la fuerza de la ecuación #1?

El método no parece ser válido. Sin embargo, da la respuesta correcta para todos los potenciales de la forma $V=k|x|^n$ (A en este caso).

Si este método es válido, ¿cuál es su justificación?

Mi pregunta no es un duplicado de la sugerida por Qmechanic, a saber. Movimiento oscilatorio no SHM . Aunque ambas preguntas se basan exactamente en el mismo problema, yo pregunto por la validez del método utilizado en la imagen siguiente .

Answer 1

Tus dudas sobre la solución dada están justificadas. El método de solución parece ser inválido y erróneo - pero vea mi nota a pie de página. Sin embargo, la opción de respuesta correcta sigue siendo (A).

Si la energía potencial es $V=k|x|^3$ entonces (como se observa) el movimiento no es un simple armónico y no puede ser descrito por $x=A\sin(\omega t)$ . La ecuación diferencial del movimiento es
$$m\frac{d^2x}{dt^2}+3kx^2=0$$ que no es de la forma $$\frac{d^2x}{dt^2}+\omega^2 x=0\,.$$

La ecuación del movimiento no tiene una solución sencilla. Sin embargo, podemos proceder como en Periodo $T$ de oscilación con función de fuerza cúbica . Podemos escribir la conservación de la energía para el oscilador como
\begin{align}\frac12m\dot x^2+k|x|^3 &=ka^3\\ \implies~~~~ \dot x^2 &=\frac{2k}{m}\left(a^3-|x|^3\right)\end{align}

donde $a$ es la amplitud. Cambia las variables por $x=ay$ . Entonces:
\begin{align}a^2\dot y^2 &=\frac{2k}{m}a^3\left(1-|y|^3\right)\\\implies ~ \frac{dy}{dt} &=\sqrt{\frac{2k}{m}a\left(1-|y|^3\right)}\,.\end{align}

La oscilación es simétrica respecto al punto de equilibrio, por lo que el periodo viene dado por
$$T=\int dt=4\sqrt{\frac{m}{2ka}}\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-y^3}}~dy\,.$$
En contra de las apariencias, la integral es finita y tiene un valor de aproximadamente 1,40218.

Por lo tanto, el período es proporcional a $\frac{1}{\sqrt{a}}$ y la respuesta es (A), pero no por la razón dada en la solución.

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Nota : El método de solución en el texto de la imagen da realmente la dependencia correcta de $T$ sobre la amplitud $a$ para cualquier potencial de la forma $k|x|^n$ . Así que tal vez haya alguna justificación para ello.

Answer 2

El problema y su generalización al potencial $V =\frac{k}{n}|x|^n$ puede resolverse mediante análisis dimensional , cf. por ejemplo este Respuesta de Phys.SE, por lo que incluso si uno escribe ecuaciones erróneas, por ejemplo,

$$ x ~=~ a \sin\omega t ,\qquad\qquad\qquad (\longleftarrow \text{Wrong!}) $$

siempre y cuando tengan un sentido dimensional, por ejemplo,

$$ [x] ~=~ [a \sin\omega t]~=~[a] ,\qquad\qquad (\longleftarrow \text{Correct!}) $$

entonces uno está obligado a llegar al resultado correcto.

Answer 3

Te quejas de que la solución plantea una ecuación de movimiento \begin{align} x(t) &\sim a\sin\omega t \tag1 \\ x''(t) & \sim -\omega^2 a\sin\omega t \tag2 \end{align} que es la solución del oscilador armónico simple $mx'' = -kx$ , no a su oscilador anharmónico $mx'' = -kx^2$ . Lo cual es una crítica válida.

Sin embargo, si usted hace la suposición razonable de que la moción será periódico entonces Análisis de Fourier nos dice que la solución se puede escribir en la forma

\begin{align} x(t) &= a_1\sin\omega t + a_2 \sin 2\omega t + \cdots + b_3 \cos3\omega t + \cdots \\ x''(t) &= -\omega^2 \left( a_1\sin\omega t + 2^2 a_2 \sin 2\omega t + \cdots + 3^2 b_3 \cos3\omega t + \cdots \right) \end{align}

donde la elipsis incluye quizás también algunos términos del coseno. Encontrar todos los coeficientes de Fourier para que la suma entre paréntesis sea el cuadrado de la primera línea es un problema sencillo, aunque tedioso. Pero si tienes algo de experiencia con las series de Fourier, sabrás que el coeficiente de baja frecuencia va a dominar, en cuyo caso $$ x(t) \sim a_1\sin\omega t $$ se equivoca, pero no se equivoca gravemente.

La forma de proceder a partir de ahí depende de su gusto personal. Su texto parece seguir una lógica como

1. la ecuación del movimiento es $$ -kx^2 = mx'' $$

2. sustituyendo (1) a la izquierda y (2) a la derecha, $$ -k \left(a\sin\omega t\right)^2 = -\omega^2 a\sin\omega t $$

3. resolver para $T\propto 1/\omega$

4. pretender no notar que el periodo $T$ parece depender del tiempo, y sólo se observa su dependencia de la amplitud $a$ .

El cuarto paso me incomoda, y creo que a ti también, ya que lo has puesto en el título de tu pregunta.

Qmechanic sugiere el enfoque del físico, utilizando el análisis dimensional. Los únicos parámetros libres en el movimiento son la rigidez del potencial $k$ , en $\rm J/m^3$ ; la masa del oscilador $m$ en kilogramos y la amplitud de la oscilación $a\propto a_1$ en metros. Sólo hay una manera de combinar estos tres parámetros físicamente significativos para obtener un tiempo en segundos, y da $T\propto \sqrt{m/ak}$ .