Estoy tratando de resolver el siguiente problema isoperimétrico:
Una curva plana tiene una longitud $l$ y los puntos finales en $(0, 0)$ y $(a, 0)$ en lo positivo $x$ eje. Demuestre que el área $A$ bajo esta curva viene dada por $$A = \int_0^l y\sqrt{1 - y'^2}ds,$$ donde $y' = dy/ds$ . Encuentra la función $y(s)$ y el valor de $a$ que maximiza $A$ y a su vez determinar que la curva en el $x - y$ plano es un semicírculo.
He conseguido demostrar que el área viene dada por la integral anterior escribiendo $A = \int_0^a ydx$ y utilizando el hecho de que $ds^2 = dx^2 + dy^2$ . Utilizando la ecuación de Euler-Lagrange, encontré que la función $y(s)$ viene dada por $$y(s) = c\mathrm{sin}\left(\frac{s}{c} + k\right),$$ donde $c$ y $k$ son constantes. Entonces, aplicando las condiciones $y(0) = 0$ y $y(l) = 0$ Me sale $k = 0$ y $c = \frac{l}{\pi}$ para que $$y(s) = \frac{l}{\pi}\mathrm{sin}\left(\frac{s\pi}{l}\right)$$
Esto se ve bien hasta ahora, pero ahora no estoy seguro de cómo encontrar "el valor de $a$ que maximiza $A$ ", y tampoco sé cómo demostrar que la función $y(s)$ da un semicírculo en el $x -y$ plano. Sustituyendo $y(s)$ en $A$ y evaluando, obtengo $A = \frac{l^2}{2\pi}$ que es lo que se esperaría para un semicírculo, pero no creo que esto ayude. ¿Debo utilizar el hecho de que $l = \int_0^a \sqrt{1 + y'^2}dx$ ¿o algo así? Creo que debo estar perdiendo algo obvio aquí.
