¿En qué base se encuentran los números romanos?

Question

¿Cuál es la base de los números romanos? Comienza con unario y luego va de un lado a otro entre múltiplos de 5 y 10.

Answer 1

Discrepo con la identificación de sistemas posicionales y sistemas con una base de Henning y J.M. Existen ejemplos de sistemas no posicionales con una sola base (en ambos casos 10): numerales egipcios y numerales chinos. La primera nota al pie en el artículo de Wikipedia sobre numerales romanos los llama "un sistema decimal en el cual el número 5 es una base auxiliar".

Answer 2

Dado que no es un sistema posicional, no tiene mucho sentido hablar de una "base" única para los números romanos, matemáticamente. Se podrían describir como "base mixta 5-10" (más comúnmente) o incluso "base mixta 2-5", pero ninguna de esas son descripciones formales.

Answer 3

Los números romanos representan el ábaco de dos por cinco, por lo que las columnas procesan de diez en diez, pero es una cooperación entre una cuenta de 5 y una división de 2.

Los números actuales son pesos de fichas (como dinero). No necesitas una moneda de cero centavos para separar la moneda de $1 y la moneda de 1c. La idea de representar cuatro y nueve como uno-antes-de-cinco y uno-antes-de-diez es una invención posterior, pero los sumerios tenían un símbolo de uno-antes-de-diez para el nueve también. No se escribe, sin embargo, 49 como IL, sino como XL IX, lo que demuestra que hay dígitos decimales ponderados en uso.

       D    L     V       Fichas decimales.
  -------------------        es base 10, porque cualquier símbolo es 10 veces
  M    C    X     I       el valor a la derecha.  

 £50    £5   50p    5p     Moneda decimal.
 £20    £2   20p    2p        No necesito tener ninguna moneda de 10p, 20p o 50p
 £10    £1   10p    1p     para llenar la 'columna vacía'

1/4  £100   £5   5s   3d   1/4d    Ábaco de base 20, para el dinero.
    ---------------------------       la última columna se divide en 3
1     £20   £1   1s   1d              en lugar de cinco, sin fallos.

Se puede ver que hay de hecho una idea de lugar en la columna romana. Se escribe una unidad de piedra como C si está en la segunda columna, o 'M' si está en la tercera columna, o I si está en la primera columna. Es probable que sea como decir que no tienes noción de lugar de dinero, porque el billete de £100 en tu bolsillo no está respaldado por monedas de cero para llenar las columnas de £10, £1, 10p y 1p.

Bases Alternas

Por Neugebauer en 'las ciencias exactas en la antigüedad'

El sistema numérico sumerio para números ordinarios es una variedad de mezcla de símbolos decimales, sesenta y doceavos. Un número como dec 192, podría escribirse como 100 + 60 + 30 + 2, podría representarse en las tablas correspondientes como 3A2 (es decir, 3 10 2).

El estilo correcto para representar números sumerios no es como en nuestro sistema de tiempo base 60, sino usar rune por rune: es decir, A = 10, B = 20, C = 30, D = 40, E = 50, y los números del 1 al 9 así.

Las runas A a E comienzan como fracciones, es decir, 1/6 a 5/6. Así que uno podría escribir 1 1/2 como 1C. Es algo así como tener números de 0/12 a 11/12 para fracciones de una docena, o uncia, como hacen los romanos. Pero donde los romanos utilizan finalmente fracciones de peso, la identificación sumeria de una mina A = 10 siclos, (es decir, 1/6 mina = 10 siclos), y que se puede escribir números como por ejemplo 1C mina 2A siclos, es decir, 1 3/6 mina, 2 1/6 siclos (donde nosotros escribiríamos 1:32:10 mina).

En cualquier caso, la implementación del ábaco en todas partes es que las unidades están en la columna baja, y las divisiones comienzan en la columna alta, por lo tanto

                  C = 3/6 mina      A = 1/6 siclo.
    ----------------------------------------------
     1 = 1 mina   2 = 2 siclos    

Los números sumerios se escriben como 'divisiones y múltiplos alternados', en lugar de un sistema estricto de sesenta números. El número que escribimos como 1.24 51 10, se escribe como 1B4E1A sin espacios, y su recíproco (también dado) es .42 25 35 como D2B5C5, nuevamente sin espacios. Realmente no necesitas espacios cuando los dígitos altos y bajos son diferentes.

También es un sistema de división. Es decir, que 1B4E1A no se debe leer como 1 25 51 10 = dec 212570, sino como 1:25 51 10, = 1.41421356. Es como nuestro tiempo y ángulo. Un ángulo de tres números son grados, un ángulo de cinco números son grados y minutos, y un ángulo de siete cifras son grados, minutos y segundos. Además, 1500 horas no son 62 1/2 días, sino que son las 15:00, denotadas como HHMM. El cien no es 5 veces veinte sino tres veces veinte.

Los números sumerios fueron construidos como un sistema de división para evitar la división. Nos damos cuenta de esto a partir de la aparición de tablas de pares de números cuyo producto es 60, por ejemplo 1C D (1.5 * 40 = 60), ordenados en tamaño creciente. Así que si uno quisiera dividir por 72, uno ve en la tabla 1A2 E. La segunda tabla a consultar es un conjunto de tablas de cálculo rápido que da los múltiplos de E de 1 a 20, y luego 40. Tales tablas seguían en uso comercial hasta los años setenta, y aún podrían encontrarse en ventas de libros.

Hay una referencia en Neugebauer, del 'problema de los siete hermanos', ya que el 7 no aparece en las tablas recíprocas. Se refiere a la igualdad de un artículo científico, que por ejemplo 8C4A6 < '7 < 8C4A8 (donde '7 es el estilo egipcio de escribir 1/7). El resultado real es repetir 8C4A7.

También hay ejemplos de números e s p a c i a d o s uniformemente, como escribir 8 C 4 A 6. Esto es un pequeño enigma para mí, ya que a menudo lo hago para efectuar multiplicaciones cruzadas en base 120.

Las bases alternas requieren aritmética alternativa. No es demasiado difícil. Es solo que tienes que desenredar esta tontería de que una base requiere dígitos del 0 al b-1, y que la tabla de multiplicación es del orden de $O(b^2)$. Yo no uso mucho más que 12 * 12 = 1.24 en base 120. Simplemente no necesitas multiplicar 77 * 88 = 56.56, por ejemplo.

Answer 4

El concepto de una base numeral es una característica de los sistemas numerales radicales. Esto incluye los sistemas familiares como base 10 y base 2, pero también incluye base -2 (negativa), base 2i (imaginaria), base i-1 (compleja) o incluso base e (trascendental) por ese motivo.

El sistema numeral romano no es un sistema radial y, por lo tanto, no tiene una característica base correspondiente.

Hay muchas referencias en línea que discuten varios aspectos de esto. Aquí hay una.