Una pregunta sobre el teorema de la convergencia de Vitali

Question

Que $(X,\mu)$ ser un espacio de medida. Teorema de la convergencia de Vitali dice que si

(a) $\mu(X)\lt \infty$

(b) ${ f_n }$ es uniformemente integrable

(c) $f_n \to f$ a.e.

(d) $|f(x)| \lt \infty $ a.e.

entonces $f\in L^1$ y $f_n \to f$ $L^1.$

¿No es difícil probar esto, pero lo que si se omite la condición (d)? He intentado construir un contraejemplo, pero no podía. ¿Por favor darme uno?

Answer 1

Que $\mu$ sea una masa de Dirac en $x=0$ $\mathbb{R}$. Que $f(0) = \infty$ y $f(x) =0$ lo contrario. Definir $fn(x)= n \chi{{0}}$. Está claro que ${f_n}$ es uniformemente integrable, pues si $\epsilon>0$, tomar $\delta = 1/2$. Luego, si dispone de un conjunto de Borel $A$ $\mu(A)