Transformación de Laplace de la derivada de la función delta de dirac veces otra función

Question

Estoy tratando de resolver una DE involucrar términos de la forma $\dot{\delta}(t-k)f(t)$ $\ddot{\delta}(t-k)f(t)$ donde $k>0$. Por tanto, quisiera encontrar la transformada de Laplace de estos términos. Mi enfoque hasta ahora ha sido simplemente el de integrar por partes, es decir, en el caso de $\dot{\delta}(t-k)f(t)$ I get

$\mathcal{L}\left\{ \dot{\delta}\left(t-k\right)f\left(t\right)\right\} =\int_{0}^{\infty}\dot{\delta}\left(t-k\right)f\left(t\right)\exp\left(-ts\right)dt$

$=\left[\delta\left(t-k\right)f\left(t\right)\exp\left(-ts\right)\right]_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}\delta\left(t-k\right)\left[\dot{f}\left(t\right)\exp\left(-ts\right)-sf\left(t\right)\exp\left(-ts\right)\right]dt$

Desde $\delta\left(t\right)=0$ todos los $t\neq k$ y desde $k>0$, se debe sostener que $\left[\delta\left(t-k\right)f\left(t\right)\exp\left(-ts\right)\right]_{0}^{\infty}=0$, por lo que mediante el tamizado de la propiedad de $\delta(t)$ I get

$\mathcal{L}\left\{ \dot{\delta}\left(t-k\right)f\left(t\right)\right\} = \left(sf\left(k\right)-\dot{f}\left(k\right)\right)\exp\left(-ks\right)$

Utilizando el mismo enfoque, tengo

$\mathcal{L}\left\{ \ddot{\delta}\left(t-k\right)f\left(t\right)\right\} =\left(\ddot{f}\left(k\right)-2s\dot{f}\left(k\right)+s^{2}f\left(k\right)\right)\exp\left(-ks\right)$

Mi pregunta tiene dos partes:

1) este Es el enfoque correcto?

2) ¿Qué sucede si $k=0$?

Answer 1

El enfoque es correcto en un sentido heurístico. Pero el símbolo $\int_0^\infty \delta^{(n)}\phi(t)\,dt$ es no e integral.

La Distribución de Derivados de la Delta de Dirac está definido de tal forma que para cada prueba adecuada de la función de $\phi$, tenemos

$$\langle \delta_a',\phi \rangle =(-1)\phi'(a)\tag 1$$

El $n$'la derivada se define de forma similar por

$$\langle \delta_a^{(n)},\phi \rangle =(-1)^n\phi^{(n)}(a)\tag 2$$

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Tenga en cuenta que tanto $(1)$ $(2)$ puede ser de forma heurística deriva formalmente de aplicar la integración por partes, procediendo como si la Delta de Dirac fue un funcionamiento normal en lugar de una generalización de la función.

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Por lo tanto, si $\phi(t) =f(t)e^{-st}$$(1)$, luego

$$\int_0^\infty \delta'(t-k)f(t)e^{-st}\,dt=-\left.\frac{d(f(t)e^{-st})}{dt}\right|_{t=k}=(-f'(k)+sf(k))e^{-sk}$$

Y si $\phi(t) =f(t)e^{-st}$$(2)$$n=2$, luego

$$\int_0^\infty \delta''(t-k)e^{-st}\,dt=\left.\frac{d^2(f(t)e^{-st})}{dt^2}\right|_{t=k}=(f''(0)-sf'(0)+s^2f(0))e^{-sk}$$