Todas las derivadas son cero en un punto $\implies$ ¿función constante?

Question

Supongamos que $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ es una función continua, y existe alguna $a \in \mathbb{R}$ donde todas las derivadas de $f$ existen y son idénticos $0$ es decir $f'(a) = 0, f''(a) = 0, \ldots$ Debe $f$ ¿es una función constante? o si no, ¿hay ejemplos de funciones no constantes $f$ que satisfagan estas propiedades?

¿Y si se cambia la hipótesis para que las derivadas de $f$ son idénticos $0$ en un intervalo abierto, es decir $f'(A) = 0, f''(A) = 0, \ldots$ para algún intervalo abierto $A$ . ¿Las respuestas siguen siendo las mismas?

Answer 1

Sí, esas funciones existen; se llaman funciones planas . El ejemplo más sencillo que conozco es el que se da en el enlace:

$$f(x)=\begin{cases} e^{-1/x^2},&\text{if }x\ne 0\\ 0,&\text{if }x=0\;, \end{cases}$$

que es plana en $x=0$ .

Puedes modificar este ejemplo para obtener uno que sea plano en el intervalo $[0,1]$ pero no es constante en $\Bbb R$ :

$$f(x)=\begin{cases} e^{-1/x^2},&\text{if }x<0\\ 0,&\text{if }0\le x\le 1\\ e^{-1/(x-1)^2},&\text{if }x>1\;. \end{cases}$$

En efecto, acabo de cortar la función en $x=0$ y movía la mitad derecha $1$ unidad a la derecha, rellenando el hueco con la función cero.

Answer 2

Función de Cauchy $f(x)=e^{-1/x^2}$ para $x\ne0$ y $f(0)=0$ tiene todas las derivadas en $0$ igual a $0$ pero la función no es constante en ningún intervalo, respondiendo así a tu primera pregunta.

Para tu segunda pregunta, por supuesto que si una función tiene la primera derivada igual a $0$ en un intervalo entonces la función es constante en ese intervalo.

Answer 3

Como otros han señalado, el contraejemplo canónico es la función $f(x)=e^{-1/x^2}$ . Pero, ¿qué tiene de especial esta función? La respuesta es que se comporta muy mal cerca de $0$ en el plano complejo porque $-1/x^2$ es arbitrariamente grande y positivo a lo largo del eje imaginario cerca de $0$ .

Answer 4

La función $f(x)$ definida de la siguiente manera no es constante y satisface su segunda condición.

$f(x) = x$ si $x \le 0$

$f(x) = 0$ si $0 < x < 1$

$f(x) = x - 1$ si $1 \le x$