Problema de cálculo multivariable: estudiar la continuidad de una función

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente problema:

Deje $\varphi : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ diferenciable, y $\varphi'(x)$ continua;

$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ dada por

$\begin{equation*} f(x,y) = \begin{cases} \frac{\varphi(y) - \varphi(x)}{y-x} & x \neq y\\ \varphi'(y) & x = y\\ \end{casos} \end{ecuación*} $

Determinar en que puntos de $f$ es continua.

Si $x \neq y$, $f$ es claramente continua porque es la suma y el producto de funciones continuas.

Si $x = y$, el problema es comprobar si: $\lim_{(x,y)\to(x_0,x_0)} f(x,y) = \varphi'(x_0)$.

Deje $A= \{ (x,y)\in\mathbb{R}^2:x=y \}$, es obvio que $\lim_{(x,y)\to(x_0,x_0)} f|_A(x,y) = \varphi'(x_0)$, debido a $\varphi'$ es continua. Pero, ¿qué acerca de la $f|_{A^C}$? He intentado, sin éxito, para usar la definición de $\varphi'(x_0)$ a resolver el límite. Alguna sugerencia?

Gracias.

Answer 1

Fijar $x0\in\mathbb{R}$. $x\ne y$, Tenga en cuenta que existe $z{(x,y)}\in\mathbb{R}$ entre $x$y $y$ tal que $\frac{\varphi(y)-\varphi(x)}{y-x} = \varphi'(z{(x,y)})$. Puesto que es $z{(x,y)}$ entre $x$y $y$, se deduce que $|z_{(x,y)}-x_0|\le\max(|x-x_0|,|y-x_0|)$. $(x,y)\rightarrow(x_0,x_0)$, Tenemos $|x-x_0|\rightarrow 0$ y $|y-x0|\rightarrow 0$, que $|z{(x,y)}-x0|\rightarrow 0$ y % de continuidad $\varphi'(z{(x,y)})\rightarrow \varphi'(x0)$así. Esto muestra que el $\lim\limits{(x,y)\rightarrow(x_0,x_0),x\ne y}{f(x,y)} = \varphi'(x_0)$.

Answer 2

Tenga en cuenta que en todos los casos,

$$f(x,y) = \int_0^1\varphi'(x +(y-x)t)\, dt.$$

Porque $\varphi'$ es continua, es sencillo demostrar que la integral es continuo, es decir, $f$ es continua.