¿Cómo sabemos que nunca vamos a demostrar una contradicción en Matemáticas

Question

Sé que puede resultar una contradicción en la teoría de conjuntos ingenua.

Deja D ser un conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismo. Decir D no contiene, a Continuación, D. D D. Que contiene los medios D que contiene en sí. Una contradicción. Por lo tanto, D contiene D. Pero eso significa que D no contiene en sí mismo. Eso significa que D no contiene D de nuevo. Pero suponemos que D contiene D. por Lo tanto, otra contradicción. Porque D contiene a sí mismo y D no contiene en sí es falso, estamos bastante atascado.

Así, la teoría de conjuntos es bastante actualizado para que venga el reino de evitar esta contradicción. Todavía estoy seguro de cómo después de tanto actualizar la contradicción se ha ido.

¿Cómo sabemos que no habrá contradicción para el grupo o cualquier otra teoría? ¿Cómo puedo saber si es que de algunos axiomas como la conmutativa, asociativa, tiene identidad, etc. de repente me enteré de que es un grupo y no a un grupo o algo así.

Nota: El problema con una contradicción es que si puedes prueba con uno, puedes prueba de nada. Supongamos que queremos para la prueba 1=0. Dicen que 1 no es 0. Ahora, vamos a Z un conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí misma. Yada yada yada... Contradicción. Por lo tanto, 1=0. El sol también se levanta en occidente (al menos durante los últimos 300 años)

Answer 1

Esto realmente no es una respuesta a la pregunta, sino una respuesta que es demasiado largo para un comentario.

Usted (Jim Tio) del estado que, "[S]et teoría es bastante actualizado para que venga el reino de evitar esta "contradicción". Yo diría que casi sucedió lo contrario.

Cantor de la definición original de un set, fue como sigue (traducido del original en alemán por alguien distinto de mí):

Por un conjunto de nos referimos a cualquier colección de $M$ en un todo de definitiva, distintos objetos de $m$ (que se llaman los elementos de $M$) de nuestra percepción o de nuestro pensamiento.

Esta definición (y el implícita de establecer los principios de la construcción) son tan amplios y generales como sea posible. Cualquier tipo de colección de objetos puede pensar que ha matemática de la existencia como un conjunto. Productos cartesianos son conjuntos. Los sindicatos de conjuntos de conjuntos. Hay un conjunto de todos los ordinales. Y, finalmente, hay un conjunto de todos los conjuntos, y los diversos "subconjuntos" de la presente se establece.

Lo de la Paradoja de Russell (y otros, como el de la Paradoja de Berry) mostró es que, lejos de ser capaz de postular la existencia de conjuntos con abandono, uno tiene que ser cuidadoso acerca de establecer la existencia/los principios de la construcción. Los diversos axiomatizations de la teoría de conjuntos son, a continuación, una descripción de los tipos de conjuntos que uno puede postular a la existencia (esto incluye las operaciones que podemos realizar sobre los conjuntos de ceder a otro conjunto).

Así, mientras que los modernos axiomatizations son sin duda más complejo que el de la ingenua concepción de un conjunto, lo que se pretende es una restricción de los tipos de colecciones que bien podría ser llamado conjuntos. En el lado positivo, estos axiomatizations implica que prácticamente cualquier colección que se reúnen en las diversas áreas de las matemáticas son conjuntos. Luego podemos ignorar los detalles de la axiomatizations a la hora de construir, digamos, el conjunto de puntos extremos de un subconjunto convexo de un espacio vectorial topológico, o el conjunto de todas las funciones lisas $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$.

Como nota final (y algo realmente conectado a la pregunta concreta que se le pide), le recomiendo que busque a un papel por el difunto George Boolos titulado "Gödel del Segundo Teorema de la Incompletitud Explicado en Palabras de Una Sílaba". La primera página nos da una muy breve y de fácil lectura y de la cuenta de por qué, a menos que nuestra concepción de las matemáticas se convierte drásticamente diferente, no podemos saber que somos libres de contradicciones.

Answer 2

La contradicción que usted menciona no se limita a la teoría de conjuntos: considere la declaración "este enunciado es falso". Si es verdadera, entonces es falsa, y si es falso, entonces es cierto.

¿Esto implica que el lenguaje es contradictorio? No. Lo que hace es demostrar que se puede esperar de cada frase para tener un valor de verdad.

En una manera similar de la Paradoja de Russell, como su contradicción es conocido, sólo demuestra que usted no puede ir alegremente diciendo: "vamos a $D$ ser un conjunto tal que esto y aquello" y siempre hay que esperar a tener sentido. "Ingenuo" la teoría de conjuntos fue, de hecho, ingenuo.

En cuanto a la fortaleza de la matemática como un todo, la falta de pruebas de consistencia no es lo ideal; pero hay muchas conexiones entre las diversas áreas e incluso entre abstracto de las matemáticas y la experiencia del mundo real que es muy improbable que oculta la contradicción estaría allí al acecho para llegar a la luz y hacer que todo el edificio se derrumbará.

Answer 3

Creo que las respuestas existentes perder algo importante, a saber, que cada vez que las matemáticas se encuentra con un aparente contradicción, podemos cambiar o mejorar nuestras ideas con el fin de neutralizar esa contradicción. En particular, nuestras ideas acerca de lo siguiente cambio:

1. Lo que constituye una prueba válida.
2. Lo que cuenta como válida la definición.
3. Qué objetos puede decirse que existen.

Entonces, ¿cómo sabemos que nunca vamos a encontrar una contradicción en Matemáticas? Porque seguimos en el cambio de las Matemáticas con el fin de evitar las contradicciones.

Permítanme especular un poco. Creo que ya mucho de las matemáticas ha sido aplicado con éxito para predecir y comprender el mundo real, en esencia, esto demuestra que hay un núcleo duro de las matemáticas, que es consistente y coherente. Simplemente no podía explicar de manera coherente en el mundo si no tiene este núcleo duro. Pero no sabemos a priori que las ideas pertenecen a este núcleo duro y los que no, que es una de las razones (tal vez no es la principal razón) ¿por qué nuestras ideas fundacionales están destinados a seguir evolucionando.

Answer 4

Para ser más preciso que LLLLL, no podemos demostrar en ZFC (por ejemplo) que ZFC sí misma no resultará en una contradicción; o si pudiéramos, esto demostraría que ZFC es contradictorio. Este es Gödel del Teorema de la Incompletitud.

Pero decir que tiene una lógica de sistema donde es un axioma codificados como "ZFC es consistente", entonces esta lógica del sistema "demostrar" que ZFC es consistente. Pero es este nuevo sistema lógico coherente...? Usted comenzará a ver el problema.

Answer 5

Si hay un modelo, entonces no hay ninguna contradicción. Así que ¿cómo sabemos que no hay contradicción para el grupo de teoría: porque no es un grupo.