¿Qué clase de teorías/física de los sistemas propios finito/infinito complejo autovalores? Yo sé que, por ejemplo, quasinormal modos de BH tiene autovalores complejos, pero son finitos o infinitos en número? ¿Qué acerca de la Conformación del Campo de las Teorías complejas con los valores propios? ¿Cuáles son las generales de las propiedades espectrales de CFT? Por otro lado, ¿qué tipo de no-hermitian operadores podrían proporcionar los espectros con infinito complejo autovalores de a pares ( complejo conjugado)? ¿Qué acerca de los problemas en el "nuevo"/"reciente" cuántica de la teoría de grafos?Hay algunos "infinito" gráfico con complejo de autovalores? Comentario: yo no soy un experto en espectral de la teoría de grafos, pero sí sé un poco acerca de sus métodos.
Respuesta
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De valores complejos de autovalores puede ser utilizado para introducir el concepto de electromagnética masa y carga.
A continuación voy a poner un ejemplo de la invariante de Lorentz modelo que utiliza valores complejos de autovalores como un componente clave, pero sin embargo permite bien definido el impulso de la densidad real con los valores de la densidad de masa de la plaza. La "complejidad" de los autovalores en este modelo se utiliza para la definición de los valores complejos de la densidad de carga, que puede ser dividido en eléctrico y magnético de las densidades de carga.
Vamos a empezar con la libre ecuación de Dirac en spinorial forma:
$\begin{array}{ cc}{{\partial{}}^{\mu{}\dot{\nu{}}} \ {\eta{}}_{\dot{\nu{}}}\ =-\ im{\xi{}}^{\mu{}}}\\ \\{{\partial{}}_{\mu{}\dot{\nu{}}} \ {\xi{}}^{\mu{}}=-\ im{\eta{}}_{\dot{\nu{}}}}\end{array} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (i)$
donde
$ \left({\partial{}}^{\mu{}\dot{\nu{}}}\right)=\ \left[\begin{array}{ cc} {\partial{}}_0+{\partial{}}_3 & {\partial{}}_1-i{\partial{}}_2 \\ {\partial{}}_1+{i\partial{}}_2 & {\partial{}}_0-{\partial{}}_3 \end{array}\right]=\ {\partial{}}_0 +{\partial{}}_1{\sigma{}}_1 + {\partial{}}_2{\sigma{}}_2+{\partial{}}_3{\sigma{}}_3 $
$ \left({\partial{}}_{\mu{}\dot{\nu{}}}\right)=\ \left[\begin{array}{ cc} {\partial{}}_0-{\partial{}}_3 & -{\partial{}}_1-i{\partial{}}_2 \\ -{\partial{}}_1+{i\partial{}}_2 & {\partial{}}_0+{\partial{}}_3 \end{array}\right]=\ {\partial{}}_0 - {\partial{}}_1{\sigma{}}_1^T {\partial{}}_2{\sigma{}}_2^T {\partial{}}_3{\sigma{}}_3^T $
Ahora vamos a considerar la modificación de la libre ecuación de Dirac $(i)$ reemplazando la constante "términos de masa" con la variable de campo electromagnético spinors:
$ \begin{array}{cc}{{\partial{}}^{\mu{}\dot{\nu{}}}{\eta{}}_{\dot{\nu{}}}=\ +f_{\nu{}}^{\mu{}}{\xi{}}^{\nu{}}} \\ \\ {{\partial{}}_{\mu{}\dot{\nu{}}}{\xi{}}^{\mu{}}=\ -{\dot{f}}_{\dot{\nu{}}}^{\dot{\mu{}}}{\eta{}}_{\dot{\mu{}}}} \end{array} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (ii) $
Aquí de segundo rango spinors de campo electromagnético $ f_{\nu{}}^{\mu{}}$ se definen como sigue:
$ f_{\nu{}}^{\mu{}}=\ \left[\begin{array}{ cc} f_1^1 & f_2^1 \\ f_1^2 & f_2^2 \end{array}\right]=\ \left[\begin{array}{ cc} F^3 & F^1-iF^2 \\ F^1+iF^2 & -F^3 \end{array}\right]=F^k{\sigma{}}_k,\ \ k=1,2,3 \ $
donde $F^k=E^k-iB^k $
y complejo-conjugado spinor $\dot{f}^{\dot \mu}_{\dot \nu}$ se define como
$\dot{f}^{\dot \mu}_{\dot \nu}=\bar{ f_{\nu}^{\mu}}$
La ecuación de $(ii)$ va a replicar la forma de la libre ecuación de Dirac $(i)$ si se requiere que spinors $\xi$ $\eta$ son vectores propios del campo electromagnético spinors $ { f_{\nu}^{\mu}}$$\dot{f}^{\dot \mu}_{\dot \nu}$:
$ \begin{array}{ ccc} f_{\nu{}}^{\mu{}}{\xi{}}^{\nu{}}=\ \lambda{}\ {\xi{}}^{\mu{}} \\ \\ {\dot{f}}_{\dot{\nu{}}}^{\dot{\mu{}}}{\eta{}}_{\dot{\mu{}}}=\bar{\lambda{}}\ {\eta{}}_{\dot{\nu{}}} \end{array} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (iii) $
En efecto, mediante la aplicación de $(iii)$ $(ii)$ obtenemos
$ \begin{array}{cc}{\partial{}}^{\mu{}\dot{\nu{}}}{\eta{}}_{\dot{\nu{}}}=+\ \lambda{}\ {\xi{}}^{\mu{}}\\ \\{\partial{}}_{\mu{}\dot{\nu{}}}{\xi{}}^{\mu{}}=\ -\bar{\lambda{}}\ {\eta{}}_{\dot{\nu{}}} \end{array} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (iv)$
Autovalores $\lambda$ $\bar\lambda$ $(iii)$ $(iv)$ son bien conocidos los invariantes del campo electromagnético:
$ \begin{array}{ ccc} {\lambda{}}_{\pm{}}=\ \pm{}\sqrt{E^2-B^2-2i\bf{EB}} \\ \\ {\overline{\lambda{}}}_{\pm{}}=\ \pm{}\sqrt{E^2-B^2+2\bf{EB}} \end{array} $
El impulso de la densidad de $P_\mu$ ahora puede ser construido por la manera usual como una suma de dos isotrópica 4-vectores $p_\mu$$\hat p^\mu$:
$P_{\mu{}}=\ p_{\mu{}}+\ g_{\mu\nu}\hat{p}^\nu$
donde
$\begin{array}{cc} p_{\mu{}}=\ \frac{1}{2}\ \left({\xi{}}^+{\sigma{}}_{\mu{}}\xi{}\right) \\ \\ {\hat{p}}^{\mu{}}=\ \frac{1}{2}\left({\dot{\eta{}}}^+{\acute{\sigma{}}}^{\mu{}}\dot{\eta{}}\right)\end{array}$
A pesar de los valores complejos de la "masa densidades" $\lambda$$\bar\lambda$, el impulso densidades de la materia campos de $P_\mu$ son:
- real valorados
satisfacer la ecuación de continuidad $ {\partial{}}_{\mu{}}P^{\mu{}}=0$ as a consequence of equation $(ii)$
"la densidad de masa de la plaza" es igual a $P^{\mu{}}P_{\mu{}}=4{\left\vert{}\lambda{}\right\vert{}}^2$ y por lo tanto, es siempre real y definido de forma positiva
- Mundo de vectores $P_\mu$ es un autovector de la tensión de la energía tensor electromagnético campo
Vale la pena señalar que en este modelo el impulso de la densidad de vectores $P_\mu$ es siempre el tiempo-como, y su tiempo-como componente de $P_0$ es siempre positivo, por lo tanto no hay soluciones con energías negativas están permitidos.
Así, hemos demostrado que la utilización de complejos autovalores $\lambda$ $\bar\lambda$ la densidad de la masa puede ser expresado a través del campo electromagnético fortalezas $\bf{E}$$\bf{B}$.
Ahora podemos desarrollar el concepto de la densidad de carga que puede ser expresado también a través de $\bf{E}$$\bf{B}$.
Podemos hacerlo mediante la exigencia de que la materia ecuaciones de campo de $(ii)$ son equivalentes (o reducida) a las ecuaciones de Maxwell. Físicamente, que significa que las partículas electromagnéticas propias del campo de la evolución es equilibrado dinámicamente con la evolución de su fuente de partículas del spinorial campo, por lo que el total de la configuración del campo se mantiene estable en el tiempo.
Como se muestra aquí, en el caso del plano transversal ondas de Maxwell y la materia de campo de ecuaciones son equivalentes si la siguiente relación entre la masa y las densidades de carga está satisfecho:
$ J^{\mu{}}=\bar{\lambda{}}\ P^{\mu{}} $
De esto podemos concluir que, en el caso del plano transversal de las ondas, el campo electromagnético invariante $\bar\lambda$ desempeña el papel de la densidad de carga (mientras $\lambda$ juega el mismo papel para los anticuerpos anti-partículas). Generalmente, $\bar\lambda$ es complejo valorado, por lo tanto permitiendo por tanto distinto de cero eléctrico y magnético de las densidades de carga.
También se ha demostrado que en el caso del plano transversal de las ondas de la fuerza de Lorentz auto-acción en el asunto de campo es cero cuando $E=B$, es decir, cuando las partes reales de los cuadrados de los campos electromagnéticos invariantes ${\lambda{}}^2$ y ${\bar{\lambda{}}}^2$ son cero.
En particular, esto se aplica a las ondas electromagnéticas en el vacío" ($\bf{E}\perp{}\bf{B}$, $E=B$), donde tenemos $\lambda{}=\bar{\lambda{}}=0$, y la materia ecuaciones de campo coinciden con las ecuaciones de Maxwell para "fuente-gratis" electromagnética de ondas planas. En este caso, el impulso de la densidad de $P^{\mu{}}$ de la materia del campo es distinto de cero, mientras que la densidad de carga $J^{\mu{}}$ es cero. En este sentido, los fotones no son realmente "fuente" libre de ondas electromagnéticas.
Para más detalles, lea el artículo principal, donde este modelo es completamente descrito y aplicado a los 3 tipos de estabilidad de las partículas elementales:
- los fotones
- acusado de fermiones, y
- los neutrinos
