Problema de integración en la escuela secundaria

Question

Me encanta hacer mathematique, que es un poco difícil para mi nivel desafiarme y empujar mis límites matemáticos. Y me encuentro con un problema que no puedo entender cómo terminar.

Tengo que demostrar que

$$\left |f(x) - \frac{1}{2x} \right | = \int_{x}^{2x} \frac{t^2 + 1}{t^2\sqrt{t^4+t^2+1}(t^2 + \sqrt{t^4+t^2+1})}dt$ $ con,$$f(x) = \int_{x}^{2x} \frac{1}{\sqrt{t^4+t^2+1}}dt$ $

La respuesta es:$$\left |f(x) - \frac{1}{2x} \right | = \left | \int_{x}^{2x} \frac{1}{\sqrt{t^4+t^2+1}}dt - \int_{x}^{2x} \frac{1}{t^2}dt \right |$ $ Para obtener la forma final, debe desarrollar y hacer un cálculo de integración, no muy difícil.
No entiendo cómo encontrar eso:$$\frac{1}{2x} = \int_{x}^{2x} \frac{1}{t^2}dt$ $

Answer 1

Escriba$\dfrac1{t^2}$ como$t^{-2}$ y aplique la regla de potencia para las integrales.

PS

Answer 2

Esto es simplemente la integración de un polinomio $t^{-2}$, por lo que sólo use la regla de "añadir 1 a la potencia, divida por el nuevo poder" para obtener la integral de a $-t^{-1}$. $$\int\frac1{t^2}\,dt=-\frac1t+c$$ La aplicación de los límites de $2x$, $x$: $$\left[c-\frac1t\right]_x^{2x}=\left(c-\frac1{2x}\right)-\left(c-\frac1x\right)=\frac1x-\frac1{2x}=\frac{2-1}{2x}=\frac1{2x}$$

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EDITAR:

Oh ya veo, así que usted desea saltar de tener $\frac{1}{2x}$ vuelta a una integral? Esto probablemente se necesitará un poco de trabajo de la conjetura - que se ve que $f(x)$ tiene una integral con los límites de $2x$$x$, por lo que puede configurar esto:

$$\frac{1}{2x}=\int_x^{2x}g(t)\,dt$$ for some $g(t)$. Then suppose $g(t)$ has antiderivative $G(t)$, so we get $$\frac1{2x}=\int_x^{2x}G'(t)\,dt=\left[G(t)\right]_x^{2x}=G(2x)-G(x)$$ A continuación, la solución de este (no estoy seguro de cómo hacerlo de forma sistemática), le dará la solución que estás buscando. Yo diría que para tratar un polinomio solución desde $\frac1{2x}$ es una potencia de $x$. Así que trate de $G(x)=Ax^\alpha\implies 2^\alpha Ax^\alpha-Ax^\alpha=\frac1{2x}\implies \alpha=-1, \frac A2-A=\frac12\implies A=-1$.

Por lo tanto $G(t)=-\frac1t\implies g(t)=\frac 1{t^2}$ obras.