La derivada de una función se define por $$ f^{\prime}(x)=\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}} $$ siempre que el límite exista. Por ejemplo, para $f(x)=\sin(x)$ podemos demostrar que (ver aquí) $$ f^{\prime}(x)=\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\sin(x+\Delta x)-\sin(x)}{\Delta x}}=\cos(x) $$ Pero para la integración sólo hay un conjunto de fórmulas que vienen de la definición anterior (es decir, con el conocimiento de la derivada de una función). Hay una definición general para la integración como la definición de arriba (tal vez un anti-límite!) que actúa sobre una función directamente?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Varun Iyer
Puntos
4552
Este es mi planteamiento:
Creo que no puede haber una definición general para una integral indefinida. He aquí por qué:
Digamos que estamos tratando de encontrar esta integral:
$$\int_\ sinx$$
Esto sería igual a $$-\cos(x) + C$$
Ahora bien, dado cualquier constante $C$, no importa lo que siempre va a alcanzar la misma derivada de una función $f(x)$.
Sin embargo, para cualquier constante $C$, vamos a lograr diferentes respuestas cuando nos encontramos con la antiderivada.
Esta es la razón por la integración no puede ser expresado en un circuito cerrado, la ecuación general. Las constantes no son insignificantes.
