¿Existe una razón intuitiva para que la resistencia que maximiza la disipación de potencia en este simple circuito tenga una forma simple?

Question

Considere el siguiente circuito:

Un libro de texto problema[2] pide a encontrar la resistencia $R$ tal que la potencia disipada en el $R$ es maximizada (asumiendo $R_1$ e $R_2$ son fijos).

Me encontré con que $R$ debe ser igual a la resistencia equivalente de $R_1$ e $R_2$, fueron en paralelo. Este es un simple resultado bastante que parece que podría tener alguna explicación intuitiva que no requiere el cálculo. Hay uno?

[2]: Halliday, David, Robert Resnick, y Kenneth S. Krane. La física, 5ed. vol. 2. Wiley, 2001. Ejercicio 31-24

Answer 1

El breve resumen (que en realidad es sólo una reafirmación de las matemáticas ha sido explorar) es que, para una fuente con una resistencia interna en la alimentación de una carga,

• Podemos minimizar la carga para maximizar la transferencia de corriente (pero no habrá voltaje a través de esta carga).
• Debemos maximizar la carga para maximizar la tensión de transferencia (pero no hay corriente a través de esta carga).
• Ponemos la carga igual a la resistencia de fuente para maximizar la transferencia de potencia.

Por lo tanto, una disposición simétrica obtiene, en un sentido, un término medio entre una etapa de salida que lleva a la ausencia de voltaje y uno que no lleva la corriente.

Estas relaciones tienen efectos profundos en el diseño de circuitos con el propósito de maximizar la eficiencia, como se define en cierta manera específica; ver aquí para más discusión de igualación de impedancia para una máxima transferencia de potencia.

En mi propia experiencia de la ingeniería, he trabajado en un microfabricated dispositivo que contiene una matriz de herméticos, juntas de metal que podría ser la ruptura de una corriente aplicada-similar a un fusible. Aquí, he querido maximizar el calor disipado en el metal del sello o de la tapa o de la membrana (p. 63 aquí), así que para la máxima eficiencia (el dispositivo iba a ser implantado en el cuerpo humano durante años con una batería), es necesario (1) reducir la resistencia de fuente tanto como sea posible, lo que incluye la batería de la resistencia, de la placa de la resistencia, wirebond resistencia, y seguimiento de la resistencia en el microfabricated chip, y luego (2) diseño de la membrana, de modo que su resistencia podría coincidir con la suma de todas las resistencias. Estos objetivos requiere la deposición de relativamente gruesa (2 µm) de oro huellas en la ficha y, a continuación, un interruptor para un platino y titanio compuesto por la membrana, aunque Pt y a Ti mucho más elevadas temperaturas de fusión de la Ua:

El último resistencias que eran pocos ohmios cada uno para la fuente y la carga.

Este es, por supuesto, sólo uno de miles de ejemplos, pero puede ayudar a construir la intuición proporcionando la práctica de los valores en una aplicación real.

Answer 2

Igualación de impedancia para una mayor potencia disipada es el pan y la mantequilla de diseño de amplificadores, antenas, circuitos osciladores, etc. Para clasificar elemento de los circuitos de la derivación es más fácil cuando el circuito RLC es representada por su Thevenin y Norton equivalente, en cuyo caso la carga se asociarán a una sola impedancia de la fuente conectada a un voltaje o una fuente de corriente. Aunque formalmente es muy fácil demostrar que el máximo de energía es absorbida por la carga cuando su impedancia es el complejo conjugado de la impedancia de la fuente, es decir, la carga y de la fuente (Thevenin y Norton) resistencias son iguales, mientras que las reactancias son de signo opuesto a su significado es oscurecida por la derivación.

Creo que el significado físico es evidente sólo en el viaje de las ondas de la imagen.

Siguiendo con el caso de Thevenin y Norton equivalente de la fuente de resistencia impedancia interna, imagine que su carga está conectado al circuito a través de la línea de transmisión cuya impedancia de onda es igual a la impedancia de la fuente. Ahora bien, si la resistencia de carga es diferente de la de la línea de la resistencia de onda después de la onda incidente que viajan desde la fuente a la carga que va a sufrir una reflexión que va a ser completamente absorbida por la resistencia de fuente desde el lado de la fuente es correspondido. Para la unidad de potencia incidente la cantidad reflejada a partir de la carga es de curso $|\Gamma_L|^2$ donde el coeficiente de reflexión $\Gamma_L= \frac{R_{load} - R_0}{R_{load} + R_0}$ e $R_0=R_{source}=R_{wave}$ y este resultado es independiente de la longitud de la línea de transmisión! Habrá una onda estacionaria en la línea, pero la energía entregada sólo depende de $\Gamma_L$. Si $\Gamma_L = 0$ es $R_{load}=R_0$ entonces no habrá ninguna onda reflejada de la carga y todas las incidencias de poder salir de la fuente será absorbida por la carga. Esto es debido a que la impedancia de entrada de la línea cuando la resistencia de carga es igual a la impedancia de onda es siempre la resistencia de onda de forma independiente de la línea de la longitud.

Este concepto puede ser más elaborado y formalizado incluso para los no-resistente (complejo) de la impedancia de carga y de las fuentes, y es la base de la matriz de dispersión formalismo para clasificar elemento de los circuitos y su diseño.

Un poco más mano saludando argumento es que usted se imagina una isotrópica antena rodeado por la absorción de una esfera cuya pared de la impedancia (en la dirección radial) es $\sqrt{\frac {\mu_0}{\epsilon_0}} =120\pi = 377 \Omega $. Este es un partido perfecto, todas las ondas que emite el formulario de la fuente isotrópica es uniformemente absorbida por la esfera y nada se refleja. Ahora hacer un agujero en la pared y el parche con un poco de material. Si la impedancia de que material es cualquier cosa, sino $377\Omega$ a continuación, se refleja debido a que la relación de E y H de la onda incidente no es el mismo que en el parche. Puesto que usted no puede tener más potencia absorbida de lo que es el incidente más alto absoprtion es cuando no hay reflexión, de ahí el partido.

Answer 3

Este es un simple resultado bastante que parece que podría tener algunos intuitiva explicación de que no requiere el cálculo.

En el circuito dado, la resistencia equivalente vista por la carga de $R$ es $R_{eq} = R_1||R_2$. Para un Thevenin (Norton) circuito equivalente, esta resistencia equivalente en serie (en paralelo) con la carga.

El poder $P_R$ entregado a $R$ es máxima cuando el $P_R = P_{R_{eq}}$. Es allí una manera intuitiva para ver por qué esto es así?

Elija el equivalente Thevenin de la imagen ($R_{eq}$ está en serie con $R$). El poder entregado a $R$ es cuadrática en la corriente de la serie a través de

$P_R = I^2R,\quad I = \frac{V_{th}}{R_{eq} + R}$

donde $V_{th}$ es la Thevenin la tensión de la fuente ($V_{th} = V\frac{R_2}{R_1 + R_2}$ en el circuito dado, pero esto es irrelevante para el resultado)

Es fácil ver que $P_R$ va a cero en los límites de $R \rightarrow 0$ e $R \rightarrow\infty$ así que no hay un máximo para algunos finito $R$.

La pregunta entonces es: ¿cuál es el valor de $R$ sería una forma intuitiva esperar para dar el máximo poder? Creo que hay una razonable en el caso de que $R = R_{eq}$ porque, en ese caso, $P_R = P_{R_{eq}}$. Piénselo de esta manera:

(1) el aumento de $R$ sobre $R_{eq}$ significa que $P_R$ es relativamente más grande, pero el poder total es la disminución de la

(2) la disminución de la $R$ por debajo de $R_{eq}$ significa que $P_R$ es relativamente pequeña, pero el total de energía es el aumento de

Uno podría entonces 'intuir' que $P_R = P_{R_{eq}}$ es un punto crítico.

Creo que una intuición semejante nos informa que maximizar el área del rectángulo cuando la suma de $L + W$ se mantiene constante requiere que $L = W$.