Mostrando que $\int_0^1 \log(\sin \pi x)dx=-\log2$

Question

Necesito ayuda con un libro de texto de ejercicio (Stein Análisis Complejo, en el Capítulo 3, los Ejercicios 9). Este ejercicio requiere de mí para demostrar que $$\int_0^1 \log(\sin \pi x)dx=-\log2$$ Una sugerencia es dado como "Uso el contorno se muestra en la Figura 9."

Dado que este es un ejercicio del Capítulo 3, creo que debería utilizar el residuo de la fórmula o algo por el estilo. Pero la función de $f(x)=\log(\sin \pi x)$ se convierte en singular en $x=0$$x=1$, lo que hace que el contorno de ilegal por el teorema de los residuos. Puede alguien darme una sugerencia más sobre este problema? Muchas gracias de antemano!

P. S. Esta es mi primera vez en Matemáticas de Intercambio de la Pila. Si usted encuentra mi post ambigua, hágamelo saber.

Answer 1

La integral de la $I$ ser calculada es $$ I=2\int_0^{1/2}\log(\sin\pi x)\mathrm dx\stackrel{x\a 1/2-x}{=}2\int_0^{1/2}\log(\cos\pi x)\mathrm dx. $$ Resumiendo los rendimientos $$ 2I=2\int_0^{1/2}\log(\cos\pi x\sin\pi x)\mathrm dx=2\int_0^{1/2}\log(\sin2\pi x)\mathrm dx-2\int_0^{1/2}\log(2)\mathrm dx. $$ La primera integral en el lado derecho es $$ \int_0^{1/2}\log(\sin2\pi x)\mathrm dx\stackrel{x\to2x}{=}\int_0^{1}\log(\sin\pi x)\frac{\mathrm dx}2=\frac{I}2, $$ y la segunda integral en el lado derecho es fácil, por tanto, $2I=I-\log2$ y, finalmente, $$ I=-\log2. $$

Answer 2

No es un complejo de la analítica de la técnica, pero creo que vale la pena mencionar. Podemos calcular la integral tomando las sumas de Riemann y la explotación de la identidad: $$\prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{\pi k}{n}=\frac{2n}{2^n}\tag{1}$$ a partir de la cual se deduce que: $$\begin{eqnarray*}\int_{0}^{1}\log(\sin(\pi x))\,dx &=& \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\log\sin x\,dx = \frac{1}{\pi}\lim_{n\to +\infty}\frac{\pi}{n}\sum_{k=1}^{n-1}\log\sin\frac{\pi k}{n}\\&=&\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n}\,\log\frac{2n}{2^n}=\color{red}{-\log 2}.\tag{2}\end{eqnarray*}$$