La clausura algebraica de $F_p$ de escribir como Unión de campos finitos

Question

En la teoría de Campo de Steven Romanos Capítulo 9 Ejercicio 20, si se escribe la expresión algebraica de cierre de campo finito $F_q$ como $\Gamma(q)$ e $a_n$ ser cualquier estrictamente creciente secuencia infinita de números enteros positivos, el ejercicio quiere demostrar que $\Gamma(q)=\bigcup_{n=0}^{\infty}GF(q^{a_n})$.

Sin embargo, si $a_n$ es una secuencia arbitraria, que son aún incapaces de demostrar $\bigcup_{n=0}^{\infty}GF(q^{a_n})$ es un campo. Me pregunto si el ejercicio ha omitido una condición, ya que la igualdad no se mantiene bajo las actuales condiciones que se les ofrecen.

Espero respuestas!

Answer 1

Dado que la pregunta ahora es cerrado en MathOF (y no pertenece aquí), he aquí una respuesta en la forma de un ejercicio (a),(b) a continuación). Sí, el ejercicio en la Romana del libro es falso y es muy poco tranquilizador de que dicho ejercicio no aparece como publicado en un GTM libro.

En primer lugar, para ser rigurosos, debemos trabajar dentro de un determinado algebraicamente cerrado campo de $K$ , con características de $p$ (donde $p$ es el único divisor primo de $q$), por lo que $\mathrm{GF}(q^k)$ es un bien definido subcampo de $K$, y de modo que la unión hace sentido como un subconjunto de a$K$.

(a) Según lo sugerido por @reuns (y copiado por el OP a la MO post sin referencia), para una secuencia $a=(a_n)$, la unión de $L_a=\bigcup_n\mathrm{GF}(q^{a_n})$ es una expresión algebraica cerrado subcampo de $K$ fib para cada $k\ge 1$ existe $n$ tal que $k$ divide $a_n$;

(b) esta unión $L_a$ es un subcampo de la $K$ fib para cualquier $m,m'$existe $n$ tal que $\mathrm{lcm}(a_m,a_{m'})$ divide $a_n$.

(c) para cada subcampo $L$ de $K$ algebraicas más de $\mathrm{GF}(q)$, existe una secuencia $a=(a_n)$, de tal manera que $a_n$ divide $a_{n+1}$ por cada $n$, de tal manera que $L=L_a$.

Por ejemplo, si $a_n=2^n$ para todos los $n$, entonces la unión es un campo, pero no es algebraicamente cerrado. Si $a_n$ es el $n$-ésimo primo, la unión no es un campo.