$\bigcap_{n\in\mathbb{N}} I^n = (0)$ Si y sólo si ningún divisor cero $R$ es de la forma $1-z$ $z\in I$.

Question

Completo el problema, supongamos que $R$ es un conmutativa Noetherian anillo y $I$ es un ideal de a$R$. Queremos demostrar que $$\bigcap_{n=1}^{\infty} I^n=(0)$$ if and only if no zerodivisor of $R$ is of the form $1-z$ with $z\in I$.

En primer lugar voy a suponer que la intersección es $(0)$. Deje $z\in I$ y deje $0\neq r\in R$ tal que $r(1-z)=0$. A continuación, $r=rz$ e lo $r\in I$. Es útil aquí? No estoy seguro de cómo utilizar el Noetherian condición de $R$ desde que la cadena de $I^n$ es descendente, no ascendente.

Cualquier ayuda sería muy apreciada! Estoy estudiando para un gualdad y necesitan toda la ayuda que pueda conseguir.

Answer 1

Sí, la observación de que $r=rz$ $\implies$ $r\in I$ es muy útil, ya que podemos usar la ecuación de nuevo para conseguir que $r\in I^2$, y por lo tanto $r\in I^3$, y así sucesivamente. Por lo tanto $r\in \bigcap_{n=1}^\infty I^n$, lo $r=0$, contradicción. No hay necesidad de utilizar Noetherianness aquí. (Puede ser necesario para el converso, pero no he pensado mucho, ya que no es claro a partir de tu pregunta si también estás preguntando acerca de eso.)

Editar

Trabajó mis pensamientos a la inversa. Yo estaba mudo. Es Nakayama del lema (el general, no anillo local de la versión).

Deje $$I^\infty = \bigcap_{n=1}^\infty I^n.$$ Observar que claramente $I(I^\infty) = I^\infty$. Entonces, desde el $R$ es Noetherian, $I^\infty$ es finitely generados, por lo Nakayama del lexema (Instrucción 1) se aplica.

Por lo tanto existe $r\in R$ con $r-1\in I$ tal que $rI^\infty =0$. Pero, a continuación, $r-1=i$ para algunos $i\in I$, e $r=1+i$. A continuación, $r$ no es un divisor de cero por supuesto, de ahí el hecho de que $rI^\infty = 0$ implica que $I^\infty=0$ como se desee.

Answer 2

Si existe alguna s $\in$ I tal que (1-y) es un divisor de cero, entonces existe un x $\not=$ 0 tal que x(1-y) = 0. Entonces x = xy $\in$ I. por Lo tanto x $\in$ I $\cap$ I$^2$. De ello se sigue que x $\in$ $\displaystyle\bigcap_n$ I$^n$.