Que $P(X_j=j)=P(X_j=-j)=1/2j^{\beta}$ y $P(X_j=0)=1-j^{-\beta}$ donde $\beta\in(0,1)$, entonces el $S_n/n^{(3-\beta)/2)}\Rightarrow c\chi$

Question

Supongamos $P(X_j=j)=P(X_j=-j)=1/2j^{\beta}$ e $P(X_j=0)=1-j^{-\beta}$, donde $\beta>0$. Demostrar que:

(i) Si $\beta>1$ entonces $S_n\to S_\infty$ a.s.

(ii) Si $\beta\in(0,1)$ entonces $S_n/n^{(3-\beta)/2}\Rightarrow c\chi$.

(iii) Si $\beta=1$ entonces $S_n/n\Rightarrow\aleph$, donde $$E\exp(it\aleph)=\exp\left(-\int_0^1 x^{-1}(1-\cos(xt)\,\mathrm{d}x\right).$$

Este es el problema 3.4.13 en Durrett la Probabilidad de texto, la parte (i) fue bastante trivial, me siento bien acerca de esa parte. Estoy teniendo un momento difícil en la parte (ii), aunque quisiera verificación para la parte (iii).

Mis ideas hasta ahora para la parte (ii) es definir el arreglo triangular como $S_{n,m}=\dfrac{X_m}{n^{(3-\beta)/2}}$, y, a continuación, utilizar la Lindeberg-Feller teorema, pero estoy colgado hasta en los detalles.

Para la parte (iii) considerar la posibilidad de:

Es bien conocido teorema de Gravamen que si $\{X_n\}$ es una colección de variables aleatorias y $Y$ es otra variable aleatoria, a continuación, $X_n \Rightarrow Y$ fib $\phi_{X_n}(t) \rightarrow \phi_Y(t)$ como $n \rightarrow \infty$ e $\phi_Y$ es continua en a$t = 0$. Por otra parte, por las propiedades de las transformadas de Fourier, $\phi_{S_n/n}(t) = \prod\limits_{1 \leq j \leq n} \phi_{X_j/n}(t)$. Ahora, $$\phi_{X_j/n}(t) = \int_{\mathbb{R}} \mathrm{d}\lambda e^{\lambda} \mathbb{P}\left(\frac{X_j}{n} = \lambda\right) = 1-\frac{1}{j} + \frac{1}{2j} e^{\frac{j}{n}} + e^{- \frac{j}{n}}) = 1-\frac{1}{j}(1-\cos(tj/n)).$$ Esto es claramente un valor real y positivo, de modo que podemos escribir $$\log\phi_{S_n/n}(t) = \sum_{j = 1}^n \log\left(1-\frac{1}{n}\cdot \frac{n}{j}(1-\cos(tj/n)\right),$$ así, hasta un $O(1/n)$ término de error, tenemos $$\log \phi_{S_n/n}(t) = \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n \frac{n}{j}(1-\cos(tj/n)) + O\left(\frac{1}{n}\right).$$ La suma en el lado derecho es una suma de Riemann para la exponencial, por lo que tomar $n \rightarrow \infty$, obtenemos $\phi_{S_n/n}(t) \rightarrow E\left(e^{it\aleph}\right)$, en nuestra notación, el último de los cuales es continua en a$0$.

Answer 1

$\def\e{\mathrm{e}}\def\i{\mathrm{i}}\def\d{\mathrm{d}}$Como está escrito en el inicio de la sección de ejercicios, $X_1, X_2, \cdots$ son independientes.

Definir $X_{n, k} = \dfrac{X_k}{n^{\frac{3 - β}{2}}}$ para $1 \leqslant k \leqslant n$. Desde Lindeberg la condición no se aplica a $\{X_{n, k} \mid 1 \leqslant k \leqslant n\}$, por lo que la proposición ha de ser probado directamente. Desde $$φ_{n, k}(t) := E(\exp(\i t X_{n, k})) = \frac{1}{k^β} \cos\frac{kt}{n^{\frac{3 - β}{2}}} + \left( 1 - \frac{1}{k^β} \right) \quad \forall t \in \mathbb{R}$$ basta probar que existe una constante $c$ que $$\lim_{t → ∞} \prod_{k = 1}^n φ_{n, k}(t) = \exp\left( -\frac{1}{2} c^2 t^2 \right). \quad \forall t \in \mathbb{R}$$

Para una fija $t$, con el fin de solicitar el Ejercicio 3.1.1., denotar $c_{n, k} = φ_{n, k}(t) - 1 = \dfrac{1}{k^β} \left( \cos\dfrac{kt}{n^{\frac{3 - β}{2}}} - 1 \right)$, es suficiente para demostrar que $$\lim_{n → ∞} \max_{1 \leqslant k \leqslant n} |c_{n, k}| = 0, \quad \lim_{n → ∞} \sum_{k = 1}^n c_{n, k} = -\frac{1}{2} c^2 t^2, \quad \sup_{n \geqslant 1} \sum_{k = 1}^n |c_{n, k}| < +∞.$$ Desde $|c_{n, k}| \leqslant \dfrac{1}{k^β} · \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{kt}{n^{\frac{3 - β}{2}}} \right)^2 = \dfrac{k^{2 - β} t^2}{2n^{3 - β}} \leqslant \dfrac{t^2}{2n}$, a continuación, $\lim\limits_{n → ∞} \max\limits_{1 \leqslant k \leqslant n} |c_{n, k}| = 0$ e $$\sum_{k = 1}^n |c_{n, k}| \leqslant \sum_{k = 1}^n \frac{k^{2 - β} t^2}{2n^{3 - β}} \leqslant \frac{t^2}{2n^{3 - β}} \int_1^{n + 1} x^{2 - β} \,\d x \leqslant \frac{t^2}{2(3 - β)} \left( \frac{n + 1}{n} \right)^β,$$ lo que implica $\sup\limits_{n \geqslant 1} \sum\limits_{k = 1}^n |c_{n, k}| < +∞$.

Ahora, desde la $\cos x = 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} + o(x^5)\ (x → 0)$existe $δ > 0$ tal que $$1 - \frac{x^2}{2} < \cos x < 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{23}. \quad \forall |x| < δ$$ Para $n > \left( \dfrac{t}{δ} \right)^{\frac{2}{1 - β}}$, $$\begin{align*} \sum_{k = 1}^n c_{n, k} &\leqslant \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k^β} \left( -\frac{k^2 t^2}{2n^{3 - β}} + \frac{k^4 t^4}{23n^{2(3 - β)}} \right) = -\sum_{k = 1}^n \frac{k^{2 - β} t^2}{2n^{3 - β}} + \sum_{k = 1}^n \frac{k^{4 - β} t^4}{23n^{2(3 - β)}}\\ &\leqslant -\frac{t^2}{2n^{3 - β}} \int_0^n x^{2 - β} \,\d x + n · \frac{n^{4 - β} t^4}{23n^{2(3 - β)}} = -\frac{t^2}{2(3 - β)} + \frac{t^4}{23n^{1 - β}}, \end{align*}$$ $$\sum_{k = 1}^n c_{n, k} \geqslant -\sum_{k = 1}^n \frac{1}{k^β} · \frac{k^2 t^2}{2n^{3 - β}} \geqslant -\frac{t^2}{2(3 - β)} \left( \frac{n + 1}{n} \right)^β,$$ por lo tanto $\lim\limits_{n → ∞} \sum\limits_{k = 1}^n c_{n, k} = -\dfrac{t^2}{2(3 - β)}$. Aplicar El Ejercicio 3.1.1., $\dfrac{S_n}{n^{\frac{3 - β}{2}}} \Rightarrow cχ$, donde $c = \dfrac{1}{\sqrt{3 - β}}$.