Demostrar que he probado es la siguiente. Yo realmente deseo que alguien puede comprobar si cometí algún error lógico, especialmente la última parte me encontré a mí mismo recato demostrando $a$ sólo puede ser $1$ o $5$.
Debido a $b\neq c$ e $b<c$, de lo contrario, cambie el valor de $b,c$. Becuase $a\mid (3b+2c)$ e $a \mid (3c+2b), \exists q_1,q_2 \in N$ que $$aq_1=(3b+2c), aq_2=(3c+2b), a(q_2-q_1)=c-b.$$ Por lo tanto, tenemos $a\mid (c-b)$ e $a \mid 3(c-b)+(3b+2c)$ que es $a \mid 5c$. Y tenemos $a \mid 2(c-b)+(3c+2b)$, $a\mid 5c$. Por lo tanto $a \mid 5b$ e $a \mid 5c$. Debido a $b,c$ son distintos de los números primos impares. Esto sólo es posible si $a\mid b$ e $a \mid c$ o $a \mid 5$. El único número que divide dos números primos es $1$. Y los dos números que divide $5$ se $1$ e $5$. Por lo tanto los dos posibles valores de $a$ se $1$ e $5$.
