Sea$a<b<c$, donde$a$ es un entero positivo y$b$ y$c$ son primos impares. Demuestre que si$a \mid (3b+2c)$ y$a \mid (2b+3c)$, entonces$a=1$ o$5$.

Question

Demostrar que he probado es la siguiente. Yo realmente deseo que alguien puede comprobar si cometí algún error lógico, especialmente la última parte me encontré a mí mismo recato demostrando $a$ sólo puede ser $1$ o $5$.

Debido a $b\neq c$ e $b<c$, de lo contrario, cambie el valor de $b,c$. Becuase $a\mid (3b+2c)$ e $a \mid (3c+2b), \exists q_1,q_2 \in N$ que $$aq_1=(3b+2c), aq_2=(3c+2b), a(q_2-q_1)=c-b.$$ Por lo tanto, tenemos $a\mid (c-b)$ e $a \mid 3(c-b)+(3b+2c)$ que es $a \mid 5c$. Y tenemos $a \mid 2(c-b)+(3c+2b)$, $a\mid 5c$. Por lo tanto $a \mid 5b$ e $a \mid 5c$. Debido a $b,c$ son distintos de los números primos impares. Esto sólo es posible si $a\mid b$ e $a \mid c$ o $a \mid 5$. El único número que divide dos números primos es $1$. Y los dos números que divide $5$ se $1$ e $5$. Por lo tanto los dos posibles valores de $a$ se $1$ e $5$.

Answer 1

La prueba está bien, pero más de elaboración en ciertos puntos. ¿Necesita $q_1,q_2$, por ejemplo? No parece que los han utilizado.

De hecho, la más simple es la prueba de que si $a|3b+2c$ e $a | 3c+2b$, a continuación, $a | 3(3c+2b) - 2(3b+2c) = 5c$, e $a | 3(3b+2c) - 2(3c + 2b) = 5b$.

Por lo tanto, $a | 5c$ e $a | 5b$, lo que significa que $a$ divide el máximo común divisor de a$5c$ e $5b$. Pero, $(5c,5b) = 5(c,b) = 5 \times 1 = 5$ (como $c,b$ es de los primeros), por lo $a | 5$.

Usted ha hecho la misma cosa, pero con un poco más de elaboración.

También, es útil para mostrar que en ambos casos se obtiene : por ejemplo, $b = 2,c=7$ da $3b+2c = 20$, e $3c+2b = 25$.

Sin embargo, tenga en cuenta que si $5 | 3c+2b$ e $5 | 3b+2c$, a continuación, $5 | b-c$. Dado que $b,c$ son primos, esto obliga a que uno de $b,c$ a ser incluso. Por lo tanto, $b = 2$ e $c = 7$ es forzado.

Conclusión : si $b \neq 2, c \neq 7$, entonces en el hecho de $a = 1$ es forzado a dado $b < c$.

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Tratar esta cuestión más general : dado $b < c$ números naturales no necesariamente la primera, y enteros $d,e$ si $a | db+ce$ e $a | eb+cd$, ¿qué se puede decir acerca de la $a$?