¿Se puede tener en cuenta una extensión de campo de grado$p^n$ en una secuencia de extensiones principales?

Question

Supongamos $L/K$ es un campo de extensión de grado $p^n$ para algunos de los mejores $p$ (si es necesario, asumir el carácter de $K$ no $p$).

Luego, siempre es posible encontrar una secuencia de extensiones $K = K_0 \subset K_1 \subset K_2 \dots \subset K_n = L$ tal que $[K_r:K_{r-1}] = p$?

El uso de la teoría de Galois, este problema se traduce en lo siguiente:

Supongamos $G$ es un grupo finito con un subgrupo $H$ tal que $[G:H] = p^n$. Siempre es posible encontrar un subgrupo $G \supset H' \supset H$ , de modo que $[H':H] = p$?

Answer 1

No, esto no siempre es posible. Por ejemplo, considere $G=A_4$ . Luego, $G$ tiene un subgrupo de índice $2^2$ (cualquier subgrupo generado por un $3$ -cycle) pero no tiene subgrupo de índice $2$ .