Los colectores de Kähler son formales

Question

Quiero entender por qué Kähler colectores son formales.
Esto fue demostrado por Deligne, Griffiths, Morgan Sullivan

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Deje $\mathcal M$ ser de un mínimo diferencial de álgebra y $H^*(\mathcal M)$ el cohomology de $\mathcal M$, considerada como una diferencial álgebra con $d =0$.

Definición.

1. $\mathcal M$ es formal si hay un mapa de los diferenciales de álgebras de $\psi: \mathcal M \to H^*(\mathcal M)$ la inducción de la identidad en cohomology.
2. El homotopy tipo de diferencial álgebra $\mathcal A$ es una formal consecuencia de su cohomology si su modelo mínimo es formal.
3. Los reales (o complejos) homotopy tipo de un colector $M$ es formal consecuencia de la cohomology $M$ si el de Rham homotopy tipo de la real (o complejo) formas $\mathcal E$ es formal consecuencia de su cohomology.

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En la sección 6, los siguientes (principal) es el teorema demostrado:

Deje $M$ ser un pequeño complejo múltiple de admisión para que el $dd^c$-lexema tiene (por ejemplo, $M$ Kähler, o $M$ un Moisezon espacio). A continuación, el real homotopy tipo de $M$ es formal consecuencia de el cohomology anillo de $H^*(M; \mathbb R)$

Deje $\{\mathcal E^*_M,d\}$ ser el de Rham complejo en $M$, $\{\mathcal E^c_M,d\}$ el subcomplejo de $d^c$-formas cerradas y $\{H_{d^c},d\}$ el cociente compleja $\mathcal E_M^c/d^c \mathcal E_M$.

El uso de la $dd^c$-lema ($\partial \bar\partial$-lema), es un fácil cálculo, que la natural mapas $$\{\mathcal E^*_M,d\} \stackrel i\leftarrow \{\mathcal E^c_M,d\} \stackrel p\to \{H_{d^c},d\} $$ son cuasi-isomorphisms y que el diferencial en $H_{d^c}(M)$ se desvanece.

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En la prueba del teorema se sigue inmediatamente de la anterior. No veo cómo, y estoy un poco confundido que no había razones dadas por qué el teorema de la siguiente manera. Sólo "Esto demuestra la demanda y, en consecuencia, [(1)] del teorema".

Los mapas parecen ser los mapas de álgebra de operadores diferenciales, así que esto está bien.
Pero tal y como yo lo veo, el teorema se sigue si podemos reemplazar $\{H_{d^c},d=0\}$ con $\{H_M,d=0\}$.

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Actualización/ Solución:
Repito: El teorema sólo sigue si podemos reemplazar $\{H_{d^c},d=0\}$ con $\{H_M,d=0\}$.
Pero el argumento anterior muestra, que la cohomologies son isomorfos. Más precisamente, el isomorfismo es inducida por $i$ e $p$.

Answer 1

Dg-álgebra a la desaparición de los diferenciales es su propia cohomology. Los morfismos $i_*,\rho_*$ son isomorphisms entre el cohomology de $(\mathscr{E}^*_M,d)$ - que es $H^*(M)$ -- y la cohomology de $(H_{d^c}, d = 0)$ - que es $H_{d^c}$, debido a que el diferencial se desvanece.

Más generalmente, si un dg-álgebra $A$ es cuasi-isomorfo a cualquier dg-álgebra $B$ con diferencial de fuga, a continuación, $B$ es isomorfo a la cohomology de $A$, casi por definición; por lo tanto $A$ es formal.