¿Hay un buen ejemplo de un polinomio con factorización no único en el subanillo de <span class="math-container">$\mathbb Q[X,Y]$</span> de polinomios que define funciones <span class="math-container">$\mathbb Z^2\to\mathbb Z$</span>?
No creo que este anillo sea un UFD debido a la posibilidad de multiplicar los factores únicos en <span class="math-container">$\mathbb Q[X,Y]$</span> de diferentes maneras para obtener a veces diferentes factores irreducibles en el anillo.
Esto puede hacerse incluso con una variable: <span class="math-container">$$ 2\cdot \left(\frac{x(x+1)}{2}\right)=\big(x\big)\cdot\big(x+1\big). $$</span> si usted prefiere evitar realizar que se convierten en unidades de <span class="math-container">$\mathbb{Q}$</span>: <span class="math-container">$$ \left(\frac{x(x+1)} {2} \right) \cdot\left (\frac {(x+2)(x+3)} {2} \right) = \left(\frac{x(x+3)}{2}\right)\cdot\left(\frac{(x+1)(x+2)}{2}\right). $$</span>
Vale la pena el énfasis es de extremadamente diferentes de las longitudes de irreductible factorizations puede ser localizado único factorizations en el anillo de enteros con valores de polinomios. Por ejemplo
$$ n {x\choose n}\, =\, (x-n+1){x\choose n-1}$$
El lado derecho es un producto de dos irreducibles, pero la LHS, puede tener un número arbitrariamente grande de factores irreducibles por la elección de $n$ con muchos factores primos.
La integridad, la de abajo es una prueba de la irreductibilidad de $x\choose n$ a partir del 2016 Mensual en papel Lo que Usted Debe Saber Acerca de valor Entero Polinomios por Cahen y Chabert.
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