$\operatorname{Aut}(V)$ es isomorfo a $S_3$

Question

Actualmente estoy trabajando en las clases de álgebra abstracta en línea de Harvard (si te interesa, puedes encontrarlas aquí ). Las clases se completan con apuntes y problemas de deberes. Por supuesto, como no voy a Harvard, no puedo entregar los deberes para saber si los estoy haciendo correctamente. Así que he decidido intentar que la gente califique mis soluciones. Publicaré las preguntas individuales a medida que las termine y esperaré los comentarios. Me gustaría recibir críticas no sólo de mi razonamiento sino también del estilo de mis escritos. Además, cualquier enfoque alternativo al problema sería bienvenido. He buscado foros dedicados a este tipo de cursos OCW pero no he podido encontrar ninguno. Esto me sorprende. Parece que, con la llegada de estos recursos educativos gratuitos en línea, un lugar de encuentro en línea para aquellos que los aprovechan sería una consecuencia natural. Así que esto podría ser un pequeño experimento. A menos que sea la 873ª persona que publica algo así aquí. Si es así, perdón por ser tan extenso.

De todos modos, seguimos con la pregunta. Esta se asigna en la cuarta conferencia.

Dejemos que $V$ denotan el grupo 4 de Klein. Demuestre que $\operatorname{Aut}(V)$ es isomorfo a $S_3$ .

(He movido mi solución a continuación para evitar que esta pregunta aparezca en la lista de no contestadas).

Gracias...

Answer 1

Esta es mi respuesta. Los comentarios adicionales son siempre bienvenidos.

Dejemos que $f:V\rightarrow V$ sea una permutación que fije el elemento identidad. Por definición, este mapa es biyectivo. $V$ tiene la propiedad de que el producto de 2 elementos distintos no identitarios es el tercer elemento no identitario. Esto implica que $f(vv^\prime)=f(v)\cdot f(v^\prime)$ para todos $v,v^\prime \in V$ con $v,v^\prime\neq e$ . Para los productos que implican el elemento de identidad, $f(ev)=f(e)\cdot f(v)=e\cdot f(v)=f(v)$ para todos $v\in V$ . Además, como todos los elementos no identitarios de $V$ tienen el orden 2, $f(v^2)=f(vv)=f(v)\cdot f(v)=e$ para todos $v\in V$ . Por lo tanto, cualquier permutación de los elementos de $V$ que fija el elemento identidad es un automorfismo de $V$ . Como estas permutaciones agotan todos los posibles automorfismos de $V$ son los elementos de Aut( $V$ ).

Desde el $3!=6$ elementos de Aut( $V$ ) representan todas las permutaciones de 3 objetos, Aut( $V$ ) es isomorfo a S $_3$ .