Resolviendo la ecuación $ \frac { \ln (x)}{ \ln (1-x)} = \frac {1}{x} - 1$

Question

Estoy tratando de resolver la siguiente ecuación (que tiene solución $x = 1/2$ )

$$ \frac { \ln (x)}{ \ln (1-x)} = \frac {1}{x} - 1 $$

Parece que no puedo hacerlo analíticamente. ¿Alguna idea?

Answer 1

Deje que $f(x)=x \ln x$ . Entonces la ecuación dada es $$f(x)=f(1-x).$$ Esto es simétrico en cuanto a $x=1/2$ . Por lo tanto $x=1/2$ es una solución.

Answer 2

La función $x \log x-(1-x) \log (1-x)$ sólo se define en $(0,1)$ es diferenciable, tiene una raíz en $x= \frac12 $ (por inspección) y tiende a cero en los puntos finales del intervalo.

El derivado,

$$ \log x+ \log (1-x)+2$$ tiene dos raíces en $(0,1)$ donde $x(1-x)=e^{-2}$ .

Por lo tanto, la función es negativa en $(0, \frac12 )$ con un mínimo único, y positivo en $( \frac12 ,1)$ con un máximo único, y no hay otras raíces.

Answer 3

Deje que $g:I \to\mathbb {R}$ donde $I:= \left [- \dfrac12 ,+ \dfrac12\right ]$ ser la función definida por $$g(t):= \begin {cases} \left ( \dfrac {1}{2}+t \right )\, \ln\left ( \dfrac12 +t \right )- \left ( \dfrac {1}{2}-t \right )\, \ln\left ( \dfrac12 -t \right )& \text {if }t \in\left (- \dfrac12 ,+ \dfrac12\right )\,, \\0 & \text {if }t \in\left\ {- \dfrac12 ,+ \dfrac12\right\ }\,. \end {cases}$$ (Obsérvese que $g$ es continua en su conjunto $I$ y es suave en $ \left (- \dfrac12 ,+ \dfrac12\right )$ .) Entonces, tenemos que resolver para $x \in (0,1)$ de $$g \left (x- \dfrac12\right )=0\,,$$ que equivale a resolver para $y \in \left (- \dfrac12 ,+ \dfrac12\right )$ de tal manera que $$g(y)=0 \text { by setting }y:=x- \dfrac12\ ,.$$

Afirmamos que $g$ tiene sólo tres raíces $- \dfrac12 ,0,+ \dfrac12 $ y esto significa que el único $y \in\left (- \dfrac12 ,+ \dfrac12\right )$ de tal manera que $g(y)=0$ es $y=0$ haciendo $x= \dfrac12 $ la única solución a la ecuación requerida. Supongamos, por el contrario, que $g$ tiene más de tres raíces. Entonces, por simetría, en el intervalo $ \left [0, \dfrac12\right ]$ , $g$ tiene al menos tres raíces. Usando el Teorema de Rolle, $g'$ tiene al menos dos raíces en $ \left (0, \dfrac12\right )$ y así $g''$ tiene al menos una raíz en $ \left (0, \dfrac12\right )$ . Sin embargo, tenemos $$g'(t)= \ln\left ( \frac12 +t \right )+ \ln\left ( \frac12 -t \right )+2\,,$$ $$g''(t)= \frac {1}{ \frac {1}{2}+t}- \frac {1}{ \frac {1}{2}-t}\,,$$ y $$g'''(t)=- \frac {1}{ \left ( \frac {1}{2}+t \right )^2}- \frac {1}{ \left ( \frac12 -t \right )^2}<0$$ para todos $t \in\left (0, \dfrac12\right )$ que es una contradicción que buscamos.