Demuestre que si$a, b, c \in \mathbb{Z^+}$ y$a^2+b^2=c^2$ entonces${1\over2}(c-a)(c-b)$ es un cuadrado perfecto.

Question

Probar que si $a, b, c \in \mathbb{Z^+}$ e $a^2+b^2=c^2$ entonces ${1\over2}(c-a)(c-b)$ es un cuadrado perfecto.

He tratado de resolver esta cuestión y lo hizo bastante bien hasta que me llegó a la final, así que me preguntaba si yo podría conseguir ayuda en esa parte. Aquí es lo que yo hice. $$a^2+b^2=c^2$$ $$b^2=(c-a)(c+a)$$ Since $a, b, c > 0 \, por tanto, (c+a) \ne 0$ $$\therefore c-a={b^2\over c+a}$$ Similarly we get, $$c-b={a^2\over c+b}$$ $$\therefore {1\over2}(c-a)(c-b)={1\over2}({b^2\over c+a})({a^2\over c+b})$$ $$={(ab)^2\over 2c^2+2ab+2bc+2ca}$$ $$={(ab^2)\over a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}$$ $$={(ab)^2\over (a+b+c)^2}$$ $$=({ab\over a+b+c})^2$$ However, I was unable to prove that ${ab\sobre a+b+c} \in \mathbb{Z}$ Es allí una manera de demostrarlo? Gracias

Answer 1

Multiplique por conjugado: $${ab\over a+b+c}={ab\over a+b+c}\cdot \frac{a+b-c}{a+b-c}=\frac{ab(a+b-c)}{2ab}=\frac{a+b-c}{2}\in \mathbb Z^+,$ $ porque: $$a+b>c$ $ y hay dos casos para $a^2+b^2=c^2$ : 1) $a,b,c$ son pares; 2) uno es par, los otros dos son impares. Y para cada caso, $a+b-c$ es par.

Answer 2

Alternativamente, use Fórmulas para generar triples pitagóricos

WLOG $a=2pqk, b=(p^2-q^2)k,c=(p^2+q^2)k$

$c-a=k(p-q)^2$

$c-b=2kq^2$