Demostrar que si es $p$ prime y $p\le$ $n$ y p no divide $n!+1$.

Question

Demostrar que si <span class="math-container">$p$</span> es primer y <span class="math-container">$p\le n$</span> <span class="math-container">$p$</span> no divide <span class="math-container">$n!+1$</span>.

Sé que en este caso puesto que divide a <span class="math-container">$p$</span> <span class="math-container">$n!$</span>, entonces no divide <span class="math-container">$n!+1$</span> pero no sé cómo mostrar esto.

Answer 1

Tenemos <span class="math-container">$$n!=1\times 2\times \cdots \times p\times \cdots \times n$$therefore <span class="math-container">$$p|n!$$</span> and since we have <span class="math-container">$\gcd (a, a +1) =1$</span> for all <span class="math-container">$a\in \Bbb Z $</span> we obtain<span class="math-container">$$\gcd(n!+1,p)=1$$</span>which means that <span class="math-container">$% $ $p\not | n!+1$</span></span>

Answer 2

Bueno, si $m|a$ e $m|b$, entonces no existir $k,\ell\in \mathbb{Z}$ , de modo que $km=a$ e $\ell m=b$. Así, $(k-\ell)m=a-b$. Así, $m|a-b$. Ahora, $p\le n$ implica $p|n!$ . Si $p|(n!+1)$, a continuación, $p|(n!+1-n!)$ lo $p|1$. Esta es una contradicción, porque implica $p=1$.

Answer 3

Usted puede rigurosamente mostrar esto con el hecho de que $\gcd(n,n+1)=1$ para todos los $n$. Esto es cierto porque las $\gcd(a,b)=\gcd(a-bn,b)$ para todos los $a,b,n$, y por lo $\gcd(n,n+1)=\gcd(n,n+1-n)=\gcd(n,1)=1$. Ahora, usted ya sabe que $p\mid n$ porque $p$ es un término en el producto que le da $n!$. Supongamos $p$ también se divide $n!+1$, a continuación, $p\mid n!$ e $p\mid n!+1$, por lo tanto $p$ es un divisor común de a$n!$ e $n!+1$, y desde $p$ es un número primo, $p>1$. Pero, ¿cómo puede ser esto si su máximo común divisor es $1$? Por lo tanto, tenemos una contradicción; hemos terminado.

Answer 4

Ahora desde <span class="math-container">$n \ge p$</span> obtenemos que <span class="math-container">$n!=1\times2\times3\times\dots\times p\times\dots\times n\equiv 0 \pmod p$</span> <span class="math-container">$$\therefore n!+1\equiv 0+1\equiv 1 \pmod p$$ And since <span class="math-container">$1 # \not\equiv 0 \pmod un \text {que} a\in \mathbb{Z^+} \text {y} a\gt1$</span> we get that <span class="math-container">$n!+1 \not\equiv \pmod 0 p $</span> meaning that <span class="math-container">$p $</span> does not divide <span class="math-container">$n! +1$</span></span>

Answer 5

Si $p$ divide tanto a a$n!+1$ e $n!$, a continuación, $p$ divide también a la diferencia de $(n!+1)-(n!)=1$. Eso significa que $p$ es $\pm 1$.

Así que si $p$ es primo o compuesto, que no se dividen $n!+1$ para $n\ge p$.

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Si usted no sabe que cuando se $d$ divide dos números de $a$ e $b$, a continuación, $d$ divide también a la diferencia de $a-b$, aquí está la prueba:

Desde $d$ divide $a$, existe una $k$ tal que $a=dk$. Del mismo modo hay un $\ell$ con $b=d\ell$. Por distributividad: $$a-b = dk - d\ell = d(k - \ell)$$ por lo $m := k-\ell$ es el número tal que $(a-b)=dm$.