La proposición general de Fermat.

Question

En su carta a Frenicle, de fecha 18 de octubre de 1640, Fermat afirma lo siguiente (Punto 8, traducido) :

Si usted resta $2$ a partir de un cuadrado, el valor restante no puede ser dividido por un primo que es mayor que la de una plaza por $2$

Por ejemplo, tome un cuadrado de $1,000,000$, a partir de la cual, resta por dos, permanece $999,998$. Yo digo que el resto no puede ser dividido por $11$ o $83$, $227$, y así sucesivamente.

Usted puede probar la misma regla de los impares plazas y, si quería, yo le doy la bella y la regla general; pero estoy contento con haber indicado sólo para usted.

En otras palabras, números de la forma $x^2 -2$ no son divisibles por los números primos de la forma $a^2 + 2$, donde $x$ e $a$ son enteros.

Preguntas :

$1)$ ¿Cuál es la regla general de Fermat está hablando?

$2)$ Están ahí las referencias a este problema?

$3)$ ¿Cómo Fermat lo han demostrado?

Answer 1

Anuncio 3): si $p = a^2 + 2$ divide $x^2 - 2$ , entonces $p$ divide $x^2 - 2 + p = x^2 + a^2$ . Pero los números primos $p = 4n+3$ no pueden dividir sumas de dos cuadrados sin dividir los cuadrados por sí mismos. Esta observación se debe a Weil.

Answer 2

Deje $p=a^2+2$ ser una de las primeras. Supongamos $a>0$ como $a=0$, la declaración claramente no se sostiene. Por lo tanto, $p\equiv 3 \pmod 8$. Por lo tanto, la congruencia $x^2\equiv 2\pmod p$ no tiene soluciones$($$2$ es un residuo cuadrático módulo $p$ si y sólo si $p\equiv ±1\pmod 8$$)$.