¿Existen dos números tales que multiplicarlos juntos sea lo mismo que poner sus dígitos uno al lado del otro?

Question

Tengo dos números naturales, A y B, tales que A * B = AB.

¿Existen estos números? Por ejemplo, si 20 y 18 fueran tales números, entonces 20 * 18 = 2018.

Probando un montón de combinaciones diferentes, parece que poner los dígitos de los números juntos siempre sobreestima pero aún no he podido probarlo.

Así que tengo 3 preguntas:

1. ¿Poner los dígitos uno al lado del otro sobreestima siempre? (Si es así, por favor, demuéstrelo).
2. Si sobreestima, ¿hay alguna fórmula para calcular en cuánto sobreestimará en términos de las entradas originales A y B? (Una prueba de que no existe tal fórmula también sería maravillosa).
3. ¿Hay alguna base (no sólo la base 10) para la que existan tales números? ( Bases negativas (¿tal vez?)

Answer 1

Tengo dos números naturales, $A$ y $B$ , de tal manera que $A \times B = AB$ .

¿Existen estas cifras? Por ejemplo, si $20$ y $18$ eran tales números entonces $20 \times 18 = 2018$ .

Dejemos de lado la respuesta trivial $A=0$ y $B=0$ y considerar tanto $A, B>0$ .

Quieres números tales que $A\times B = A\times10^k + B$ donde $k$ es el número de dígitos de $B$ , es decir, con $10^{k-1}\leq B < 10^k$ . Así que necesitas $B=10^k+\dfrac{B}{A}$ con $B<10^k$ . De lo que resulta $B>10^k$ y $B<10^k$ .

Así que si no hay ningún error ahí, la respuesta es no.

Answer 2

Está el ejemplo patológico $A=B=0$ .

Para el resto:

Dejemos que $B$ tienen $m$ dígitos. Tenemos $AB= A*10^m+B$ Queremos $AB=A* B$ ,

Tenemos $$A*10^m+B-A*B = A*(10^m-B)+B>B,$$ porque $10^m>B$ como $B$ tiene $m$ dígitos. Así que siempre se sobreestima por lo menos $B$ .

De esto también se deduce que el resultado es independiente de la base elegida. base elegida.

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Permítanme generealizar un poco:
Si permitimos $A$ sea negativo, tenemos que cambiar la condición a $AB=A*10^m-B$ .
Esto lleva a $$A=\frac B {10^m-B}, $$ pero entonces el lado derecho es positivo y de nuevo obtenemos una contradicción.

Así que la última posibilidad es $B<0$ . Pero primero tenemos que definir $AB$ .
Una forma natural de hacerlo sería $A(-B)$ .
Entonces tenemos para $A>0$ : $AB=A*10^m-B$ lo que implica $$A=\frac B {10^m-B}. $$ Esta vez, no hay ninguna contradicción por cuestiones de signos.
Sin embargo, ahora $-B>0$ Por lo tanto $|10^m-B|>|B|$ , por lo que el lado derecho no es un número entero.

El argumento análogo da también una contradicción para $A,B>0$ .

Por lo tanto, incluso en el entorno más generalizado, la respuesta es no.

Answer 3

Si $B$ tiene $n$ dígitos entonces $10^{n-1} \le B <10^n$ y queremos $AB = 10^nA + B$ o

Pero $B<10^n$ así que $AB < 10^nA \le 10^nA + B$

Así que 1) Sí sobre compensación siempre

2) por $10^nA + B - AB = 10^{[\log_{10}(B)]+1}A + B - AB$

3) El mismo argumento se aplica a cualquier base $> 1$

Answer 4

Utilizaré $*$ para su operación de concatenación, y $\cdot$ para la multiplicación verdadera.

1) Si se permite omitir los ceros a la izquierda, entonces $0*0=00=0$ . Obsérvese que para todos los pares de números naturales distintos de cero, $a\cdot b\leq a\cdot10^{\lceil\log_{10}(b)\rceil}$ pero que $a*b>a\cdot10^{\lceil\log_{10}(b)\rceil}$ . Si $a=0$ y $b\neq 0$ y no tenemos en cuenta los ceros a la izquierda, entonces seguimos teniendo una sobreestimación, y si $a\neq0$ y $b=0$ entonces seguimos siendo una sobreestimación.

2) Basándome en mis burdas estimaciones anteriores, sí, hay una forma de poner límites al tamaño de la sobreestimación, pero no sé si se puede hacer mucho mejor honestamente.

3) También basándome en mis burdas estimaciones, si sustituyes los logaritmos por diferentes bases estoy bastante seguro de que esto demuestra que ninguna base mayor que 1 funciona. La propia base 1 tiene de hecho ambos tipos de comportamiento; $1*11=111>11$ pero $111*111=111111<111111111$ . Además, tiene un ejemplo de igualdad en $11*11=1111$ . Por supuesto, está la cuestión de que $0$ es un objeto extraño con el que intentar trabajar en base 1, así que vamos a ignorarlo por ahora...

No puedo reunir la fuerza de voluntad para intentar probar algo para las bases negativas. Sospecho que las bases negativas menos de $-1$ fallará, pero es fácil ver que en base $-1$ hay representaciones triviales que también te darán la igualdad; $11*11=1111$ donde todo lo que está a la vista es $0$ en base 10.

Answer 5

Así que era imposible con los números naturales (ver otras respuestas) Pero si usted está dispuesto a doblar las reglas un poco, haciendo que cuando los números decimales están involucrados $A.a \times B.b = AB.ab$

entonces puede encontrar

$$x.99999999999... \times 9.9999999999... = x9.99999999999...$$

o de forma más compacta

$$x.(9) \times 9.(9) = x9.(9)$$

esto es posible porque $x.(9) = x + 1$

y para un ejemplo si $x=4$

$5 \times 10 = 50 \Leftrightarrow 4.(9) \times 9.(9) = 49.(9)$