Las matemáticas detrás de la famosa regla de Warren Buffet: nunca pierdas dinero

Question

Esta es una pregunta acerca de un concepto matemático, pero creo que voy a ser capaz de hacer la pregunta mejor con un poco de fondo.

Warren Buffet famoso 2 de las reglas para la inversión:

Regla Nº 1: Nunca perder dinero. Regla número 2: Nunca olvidar la regla número 1.

Al principio me llevó a esta cita como la lengua en la mejilla. Duh, por supuesto, usted no quiere perder dinero. Pero después de la mejor educar a mí mismo en el mundo de las inversiones veo esta cita más como las palabras de los sabios sensei de la inversión. Esto significa más que simplemente tener cuidado, o ser conservador. Perder el dinero puede destruir una cartera porque no es un matemático desventaja.

Considere dos gestores de fondos de cobertura: el Señor de la Tortuga y el Señor Liebre.

El señor Tortuga es constante, no tiene un alto rendimiento, pero también no perder dinero. El señor Liebre es agresivo, obteniendo grandes ganancias, pero de vez en cuando perder dinero. Aquí están sus declaraciones de impuestos de los últimos 5 años

El señor Liebre tiene una mayor tasa de retorno. Además, él ha hecho (significativamente) más dinero en 4 de los 5 años. El señor Tortuga, sin embargo, ha hecho de sus clientes, más dinero en general en el mismo período de tiempo.

Esto parece contra-intuitivo. Yo creo que quiere maximizar su tasa media de rentabilidad a toda costa, pero no es así de simple.

Por qué?

¿Por qué una entrada negativa tienen un impacto significativo en una función de crecimiento exponencial?

¿Por qué no la tasa media de crecimiento conduce siempre a la mayor resultado posible?

¿Cómo explicar este (esperemos que en los términos del laico)?

Answer 1

Hay dos cosas que debo señalar. Una de ellas es que la media aritmética no medir adecuadamente la tasa de crecimiento anual. La segunda es ¿por qué.

El cálculo correcto de la media de crecimiento anual es la media geométrica.

Deje $r_1,r_2,r_3,\ldots,r_n$ ser el crecimiento anual de una inversión en particular,/cartera/lo que sea. Entonces, si usted invierte $P$ en esta inversión, después de la $n$ años su cantidad final de dinero es $Pr_1r_2\cdots r_n$. El (anual) tasa de crecimiento promedio de la inversión es el número de $r$ tal que si la inversión creció a una tasa constante de $r$ cada año, a continuación, después de $n$ años tendríamos la misma cantidad que en realidad nos terminó. En otras palabras es $r$ tal que $Pr_1r_2\cdots r_n=Pr^n$. Así tenemos $$r=\sqrt[n]{r_1r_2r_3\cdots r_n},$$ cual es la media geométrica, no la media aritmética.

Si utilizamos la media geométrica, podemos ver que la Tortuga promedio de crecimiento anual es $\sqrt[5]{1.39}\approx 1.07$, y la Liebre del promedio anual de la tasa de crecimiento es $\sqrt[5]{1.36}\approx 1.06$, que está más en línea con nuestras expectativas.

¿Por qué no la media aritmética se comportan como se espera?

Bien, vamos a ver algo más de dos años. Dicen que su media aritmética de crecimiento es de 1. A continuación, la tasa de crecimiento de un año se $1+x$ y el otro año va a ser $1-x$. La multiplicación de estos, podemos ver que el crecimiento es $1-x^2$. En otras palabras, el crecimiento real es siempre menor o igual que la predicha por la media aritmética (esto es cierto para $n$ años así, ver el AM-GM de la desigualdad). Nota, además, que el crecimiento real se aproxima más a la predicha por la media aritmética cuando el individuo anual de las tasas de crecimiento están más cerca. Por lo tanto, si usted está más coherente (sus tasas de crecimiento anual están más cerca entre sí), entonces su media aritmética de la tasa de crecimiento se aproximan a su verdadera tasa media anual de crecimiento como en la de la Tortuga caso. Por otro lado, si su tasa de crecimiento anual son más dispersos, entonces su verdadera tasa media anual de crecimiento será mucho menor que el promedio aritmético de la tasa de crecimiento (como en el de la Liebre caso).

Answer 2

Después de un 50% de pérdida en la que usted necesita un 100% de ganancia para romper incluso. En ese escenario la media aritmética de retorno es de 25% y la media geométrica de retorno es 0%.

Es más importante para maximizar geométrica en lugar de la media aritmética de retorno, y esto está íntimamente relacionado con el concepto de rentabilidad ajustada al riesgo y la media y la varianza de la optimización.

Dado un conjunto de retornos $R_1,R_2, \ldots, R_n$ tenemos el cálculo de la media aritmética y la varianza

$$A = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^nR_k, \quad\quad V = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n(R_k - A)^2$$

Una útil aproximación que se refiere la geométrica y la media aritmética de retorno es

$$G = \left[\prod_{k=1}^n(1+R_k) \right]^{1/n}- 1 \approx A - \frac{V}{2}$$

Esto es en parte un factor de motivación para la construcción de una cartera que maximiza el rendimiento esperado de los sujetos a una superior, la restricción de la varianza o minimiza la varianza sujetos a una menor restricción en la rentabilidad esperada.

Answer 3

Esto se parece a la diferencia entre la media aritmética y la media geométrica.

Cada año, si usted invierte $\$1000$ al inicio y salida de efectivo al final del año, usted desea utilizar la media aritmética apunta a Mr Hare

Pero si en lugar de invertir $\$1000$ at the start of year $1$ and keep all the money invested until the end of year $5$ a continuación, usted desea utilizar la media geométrica apunta a Mr Tortuga

La media geométrica es particularmente sensible a los valores bajos: en el peor de los caso de que usted pierda todo su dinero en un año en particular ($0$ en la tabla), nunca se puede tomar de nuevo. Pero usted puede si usted reinicie cada año con la misma cantidad

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Si quieres hacer aún mejor, cada año dan la mitad de su dinero al Señor de la Tortuga y la mitad para el Señor Liebre para invertir, el reequilibrio de cada año. Con estos resultados, se $43\%$ mejor después de cinco años, un compuesto $7.4\%$ a un año, mejor que el de Mr Tortuga $39\%$ e $6.8\%$ y Señor de la Liebre $36\%$ e $6.4\%$. La mitad-y-mitad no es la ideal pero es sencillo y está cerca de óptima con estos números particulares

Answer 4

Esta es una especie de sutil concepto. Decir que hay dos gestores de fondos, Alice y Bob. Alice ha devolver exactamente 5% por año y Bob tiene un retorno de 0% o 10% por año, con igual probabilidad. Entonces es claro que tanto los gestores de fondos tienen el mismo promedio de retorno (en espera) si se define "media vuelta" como la media aritmética de su por ciento de retorno de cada año.

Ahora echemos un vistazo a cómo los gestores de fondos están haciendo 10 años a partir de ahora. Pensar en la simulación de muchos ensayos de su fondo de actuaciones. En cada ensayo, por supuesto, Alice tiene exactamente el mismo resultado: su fortuna ha aumentado por un factor de $(1.05)^{10}$. ¿Qué pasa con Bob? Además de su riqueza en cada ensayo se $(1.05+X_1)(1.05+X_2)...(1.05+X_{10})$ donde $X_1,...,X_{10}$ son independientes de las variables aleatorias tomando el valor -0.05 y +0.05 con igual probabilidad. No es difícil ver que en la espera (computing $\mathbb{E}[(1.05+X_1)(1.05+X_2)...(1.05+X_{10})]$ ), Bob de hecho, tiene el mismo rendimiento que Alice, es decir, $(1.05)^{10}$.

Así que usted debe estar tan dispuestos a invertir con Bob como con Alice? Bueno, sí, si todo lo que importa es la media. Pero la mayoría de la gente se preocupa por la distribución de los rendimientos así. Uno puede mostrar que en busca de 10 años a partir de ahora, Bob, con alta probabilidad, han hecho menos dinero para usted de Alice. Este está compuesto por un pequeño porcentaje de tiempo en que Bob hace astronómicamente más de Alice. De manera que con Bob en lugar de Alice es en esencia la compra de un billete de lotería.

Otra forma de decir esto es que aunque Alice y Bob tienen la misma esperados (como en un promedio de más de la muestra de los ensayos) aritmética devuelve, Bob tiene una menor espera geométrica de retorno (como se menciona en las otras respuestas) de Alice. Esto se desprende de la concavidad de la $\log$ función.

Este concepto es lo que suele llamarse "la volatilidad de arrastre." Si usted toma el continuum límite de la situación, usted puede terminar con un modelo conocido como movimiento Browniano geométrico. En este marco, hay en realidad una fórmula para esto arrastrar. El promedio geométrico de la devolución serán a$r - \sigma^2/2$ en lugar de $r$ donde $\sigma^2$ es la varianza del ruido en sus declaraciones (por ejemplo, el $X_i$ en Bob devuelve).

Agregó

Para los lectores, quienes están familiarizados con la noción de expectativa de la probabilidad, voy a mostrar cómo el cálculo obras explícitamente por 2 años. Luego hay 4 posibilidades:

$X_1= -0.05$ e $X_2 = -0.05$

$X_1= -0.05$ e $X_2 = +0.05$

$X_1= +0.05$ e $X_2 = -0.05$

$X_1= +0.05$ e $X_2 = +0.05$

Por lo tanto, la expectativa es $$\mathbb{E}[(1.05+X_1)(1.05+X_2)] = \frac{1}{4}(1 \cdot 1 + 1 \cdot 1.10 + 1.10 \cdot 1 + 1.10 \cdot 1.10) = 1.05^2$$ lea aquí para obtener más información.

Answer 5

Deje $x$ ser un porcentaje. Si la devolución en un buen año es $(1+x)$ y la de regreso en un año malo es $(1-x)$, el retorno total está dado por $$(1+x)(1-x)=1-x^2$$ Lo que esto nos dice es que los rendimientos negativos tienen un impacto mucho mayor en las inversiones de los retornos positivos a la misma velocidad.

En el ejemplo dado, aunque el Señor Liebre fue capaz de alcanzar un $56%$ aumento de la inversión original, en sólo dos años, todo lo que hizo fue sólo un año para el acumulado de volver a caer de nuevo a $1.01$, sólo un $1%$ de aumento sobre la inversión original. Concede, Señor Liebre fue capaz de compensar sus pérdidas en un plazo de dos años, pero basado en su historia, es probable que se produzca otro año malo en el futuro próximo que será igual de devastador.

Por otro lado, el Señor Tortuga produce tarifa resultados más consistentes. A pesar de que su devuelve podría no parecer tan impresionante como el Señor de la Liebre, el Señor Tortuga experiencias de poca o de ninguna de las pérdidas que significa que sus clientes en el largo plazo va a experimentar un mayor retorno de su inversión original que los de el Señor Liebre.