Representaciones conjeturales de forma cerrada de sumas, productos o integrales

Question

¿Cuáles son algunos ejemplos de sumas infinitas, productos o integrales definidas que tienen representaciones conjeturales de forma cerrada que fueron confirmadas por cálculos numéricos hasta la máxima precisión que se haya intentado, pero que siguen sin demostrarse?

También me interesan los valores de funciones especiales en ciertos puntos que tienen representaciones conjeturales en términos de funciones más simples (por ejemplo, valores especiales de funciones hipergeométricas, Función G de Meijer o Función H de Fox que es representable en términos de funciones elementales y constantes conocidas como $\pi$ , $e$ , Catalán , Euler-Mascheroni , Glaisher-Kinkelin o Khinchin ).

Por poner algunos ejemplos:

• Conjetura de Gourevitch mencionado en MathOverflow : $$\sum_{n=0}^\infty \frac{1+14n+76n^2+168n^3}{2^{20n}}\binom{2n}{n}^7\stackrel{?}{=}\frac{32}{\pi^3}.$$
• Hipótesis de Riemann (en una forma inusual, también mencionada en MathOverflow ) $$\int_{0}^{\infty}\frac{(1-12t^2)}{(1+4t^2)^3}\int_{1/2}^{\infty}\log|\zeta(\sigma+it)|~d\sigma ~dt\stackrel{?}{=}\frac{\pi(3-\gamma)}{32}.$$
• Otra conjetura de MathOverflow atribuido a _J. M. Borwein, D. H. Bailey, Matemáticas por medio de la experimentación: Razonamiento plausible en el siglo XXI : $$\frac{\displaystyle\int_{\pi/3}^{\pi/2}\log\left|\frac{\tan t+\sqrt{7}}{\tan t-\sqrt{7}}\right|dt}{\displaystyle\sum\{n=1}^\infty\left(\frac n7\right)\frac{1}{n^2}}\stackrel{?}{=}\frac{7\sqrt{7}}{24},$$ donde $(\frac{n}{7})$ denota el Símbolo de Legendre .

Answer 1

Algunas fórmulas conjeturales para $\pi$ se dan en:

• J. Guillera, "Tipo de pruebas de series tipo Ramanujan"
• J. Guillera, "Supercongruencias mosaico de tipo Ramanujan"
• J. Guillera, "Sobre un nuevo tipo de serie tipo Ramanujan"
• J. Guillera, "Algunas fórmulas desafiantes para $\pi$ "

Por ejemplo (expresé una suma infinita dada en el documento en términos de funciones hipergeométricas): $$224 \, _5F_4\left(\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{2}{3 };1,1,1,1;8235 \sqrt{5}-18414\right)\\-100 \sqrt{5} \, _5F_4\left(\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{2}{3 };1,1,1,1;8235 \sqrt{5}-18414\right)\\-1655540 \, _5F_4\left(\frac{4}{3},\frac{3}{2},\frac{3}{2},\frac{3}{2},\frac{5}{3 };1,2,2,2;\frac{27}{8} \left(5 \sqrt{5}-11\right)^3\right)\\+740380 \sqrt{5} \, _5F_4\left(\frac{4}{3},\frac{3}{2},\frac{3}{2},\frac{3}{2},\frac{5}{3 };1,2,2,2;\frac{27}{8} \left(5 \sqrt{5}-11\right)^3\right)\\-1237563 \, _5F_4\left(\frac{4}{3},\frac{3}{2},\frac{3}{2},\frac{3}{2},\frac{5}{3 };2,2,2,2;\frac{27}{8} \left(5 \sqrt{5}-11\right)^3\right)\\+553455 \sqrt{5} \, _5F_4\left(\frac{4}{3},\frac{3}{2},\frac{3}{2},\frac{3}{2},\frac{5}{3 };2,2,2,2;\frac{27}{8} \left(5 \sqrt{5}-11\right)^3\right)\stackrel{?}{=}\frac{4}{\pi^2}$$

También puedes mirar:

• J. Borwein, D. Bradley, "Fórmulas de tipo Apéry determinadas empíricamente para ζ(4n + 3)"

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Y una más de J. Página web de Guillera : $$\sum_{n=0}^\infty\frac{(5418n^2+693n+29)(6n)!}{(-23887872000)^n n!^6}\stackrel?=\frac{128\sqrt5}{\pi^2}.$$

Answer 2

Muchas de estas conjeturas pueden verse en el reciente texto de Borwein-Crandall, Formularios cerrados: Qué son y por qué nos importan . Un caso citado es el de la identidad $$F(3,5)= \frac{15}{\pi^2} \sum_{n=0}^\infty \binom{2n}{n}^2 \frac{(1/16)^{2n+1}}{2n+1},$$ en el que $F(x,y)$ denota el $4$ -suma reticular de dimensiones: $$F(x,y)=(1+x)(1+y)\sum_{a,b,c,d} \frac{(-1)^{a+b+c+d}}{\left((6a+1)^2+x(6b+1)^2+y(6c+1)^2+xy(6d+1)^2\right)^2}.$$ Ambas expresiones han sido estimadas numéricamente; cada una es aproximadamente $0.0628326$ .

Un segundo ejemplo de interés histórico es el conocido producto Wallis: $$\frac{\pi}{2} =\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdot\frac{8}{7}\cdots \frac{2n}{2n-1}\cdot \frac{2n}{2n+1}\cdots$$ Wallis conjeturó el valor dado $\pi/2$ tras un largo cálculo en 1655. No existían métodos para derivar tal resultado al menos hasta los días de Euler (unos 80 años después).

El producto de Wallis es notable en su relación con la aproximación de Stirling (es decir, completando la transición entre las aproximaciones débil y fuerte de Stirling), y por su papel en la determinación de $$\zeta'(0)=-\log(2\pi)/2.$$

Answer 3

Tal vez quiera echar un vistazo al trabajo de Zhi-Wei Sun y especialmente su 181 Series conjeturales para $\pi$ y otras constantes . Algunos ejemplos:

$$\sum_{k=1}^\infty\frac{(10k-3)8^k}{k^3\binom{2k}{k}^2\binom{3k}{k}}=\frac{\pi^2}{2},$$

$$\sum_{k=1}^\infty\frac{(28k^2-18k+3)(-64)^k}{k^5\binom{2k}{k}^4\binom{3k}{k}}=-14\zeta(3),$$

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{16n+5}{12^n}\sum_{k=1}^\infty\binom{2k}{k}\binom{2(n-k)}{n-k}\binom{-1/4}{k}\binom{-3/4}{n-k}=\frac{8}{\pi}.$$