Supongamos que $H,K$ son subgrupos de $G$ ¿Qué significa escribir $H \leq K \leq G$ ?

Question

Estoy siguiendo a J.B. Fraleigh: A first course in abstract algebra. En la página del texto $101$ el autor supone $H,K$ son subgrupos de $G$ entonces utiliza la notación $H \leq K \leq G$ . ¿Tiene la intención de escribir, $H \subseteq K \subseteq G$ , $|H| \leq |K| \leq |G|$ ¿o algo diferente? No recuerdo que esa notación para conjuntos se haya definido en mis cursos anteriores de matemáticas.

Answer 1

Como queda claro en la otra respuesta, la gente prefiere cosas diferentes. Pero es completamente normal escribir $$ H\leq G $$ cuando queremos decir que $H$ es un subgrupo de $G$ . Así que decir que $$ H\leq K\leq G $$ dice que $H$ es un subgrupo de $K$ y $K$ es un subgrupo de $G$ . (Como nota al margen, $\leq$ es un transitivo, por lo que esto también significaría que $H$ es un subgrupo de $G$ .)

He buscado en un par de mis libros de álgebra abstracta, y los siguientes libros utilizan $\leq$ para los subgrupos

• Gallian's Libro de Álgebra Abstracta Contemporánea
• Fraleigh's Un primer curso de álgebra abstracta
• Rotman's Álgebra moderna avanzada
• Herstein's Temas en Aglebra
• Dummit y Foote's Álgebra abstracta

Incluso Artículo de Wikipedia sobre subgrupos utiliza la notación Hungerford utiliza $<$ .

Una de las ventajas de utilizar $\leq$ en $\subseteq$ es que distingue entre ser un subconjunto y un subgrupo. En una demostración se podría mostrar primero que $H$ es un subconjunto de $G$ para luego concluir que $H$ es un subgrupo. Así que tener diferentes notaciones puede ser útil.

Answer 2

Yo diría que esto $$H \subseteq K \subseteq G$$ y que $H$ es un subgrupo de $K$ y $K$ es un subgrupo de $G$ .